Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1

Passo 1

Show de bola, galera! Partiu aplicar o Teste da Razão na nossa série de potências. Partiu então calcular o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x - 3 n + 1 2 n + 1 + 1 - 1 n x - 3 n 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ ( x - 3 ) n ∙ ( x - 3 ) 2 n + 3 ∙ 2 n + 1 x - 3 n

Resolvendo o limite acima, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( x - 3 ) n ∙ ( x - 3 ) 2 n + 3 ∙ 2 n + 1 x - 3 n = x - 3 ∙ lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 2 n + 3 = x - 3

Passo 2

Logo, pelo Teste da Razão, nossa série convergirá para x - 3 < 1 . Pronto! Já achamos o nosso raio de convergência R = 1 .

Show de bola! A princípio já sabemos que a nossa série convergirá para o intervalo em que x - 3 < 1 , ou seja, - 1 < x - 3 < 1 ↔ 2 < x < 4 ....Portanto, convergirá para o intervalo ( 2 , 4 ) em função do nosso raio de convergência. Mas e para os extremos do intervalo ( x = 2 e x = 4 )? É o que vamos calcular agora.

Passo 3

Quando x = 2 , ficamos com a série ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 , que, pelo Teste da Integral, é uma série divergente.

Já para x = 4 , ficamos com a série ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 , que, pelo Teste da Série Alternada, é uma série convergente.

Desta forma, chegamos que o intervalo de convergência é dado por I = ( 2 , 4 ] .

Resposta

R = 1   e   I = ( 2 , 4 ]

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