Encontre a solução geral da equação diferencial

y'' - 2y' - 3y = -3t \* e^(-t)

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y h ). Lembrando que a EDO homogênea é y ' ' - 2 y ' - 3 y = 0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y h +   y p .

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y ' ' passa a ser r 2 , y ' passa a ser r e y é o termo independente.

r 2 - 2 r - 3 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o ∆   =   b 2 - 4 a c   e utilizaremos a fórmula de Bhaskara r = - b ± ∆ 2 a .

Sendo que a = 1 , b = - 2 e c = - 3 .

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆   > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆   < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y =   e α t C 1 c o s β t +   C 2 s e n β t

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   =   - 2 2 - 4 1 - 3

∆   =   16

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = - b ± ∆ 2 a

r = - ( - 2 ) ± 16 2 ( 1 )

r = 2 ± 4 2

r 1 = 2 - 4 2 = - 1

e

r 2 = 2 + 4 2 = 3

Passo 3

Como ∆   =   16   > 0 , a solução da EDO homogênea será:

y h =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

y h =   C 1 e - t +   C 2 e 3 t

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y p = ( A t + B t 2 ) e - t

Substituiremos y p na EDO do problema para assim, determinar as constantes A e B.

y ' p = [ A + 2 B - A t - B t 2 ] e - t

y ' ' p = [ 2 ( B - A ) + - 4 B + A t + B t 2 ] e - t

Lembrando que, y ' ' p - 2 y ' p - 3 y p =   - 3 t e - t

{ 2 B - A + - 4 B + A t + B t 2 - 2 A + 2 B - A t - B t 2 - 3 [ A t + B t 2 ] } e - t = - 3 t e - t

[ 2 B - 2 A - 8 B t ] e - t = - 3 t e - t

Para manter a igualdade,

- 8 B = - 3

B =   3 8

2 B - 2 A = 0

B - 2 A = 0

A =   B 2 =   3 16

Substituindo A e B na solução particular,

y p = 3 16 t + 3 8 t 2 e - t

Passo 5

A solução da EDO será

y = y h +   y p

y =   C 1 e - t +   C 2 e 3 t +   3 16 t + 3 8 t 2 e - t  

Resposta

y =   C 1 e - t +   C 2 e 3 t +   3 16 t + 3 8 t 2 e - t  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados