Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial

y^(' ') - 2 y^' - 3 y = - 3 t e^(- t)

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y_h ). Lembrando que a EDO homogênea é y^(' ') - 2 y^' - 3 y = 0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y_p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y_h + y_p .

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y^(' ') passa a ser r^2 , y^' passa a ser r e y é o termo independente.

r^2 - 2 r - 3 = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o Delta = b^2 - 4 a c e utilizaremos a fórmula de Bhaskara (r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)) .

Sendo que a = 1 , b = - 2 e c = - 3 .

Importante!!!

  • Se o resultado do Delta > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 t e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y = e^(alpha t) (C_1 c o s beta t + C_2 s e n beta t)

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

Delta = b^2 - 4 a c

Delta = (- 2)^2 - 4 (1) (- 3)

Delta = 16

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)

r = (- ( - 2 ) +- sqrt(16))/(2 ( 1 ))

r = (2 +- 4)/(2)

r_1 = (2 - 4)/(2) = - 1

e

r_2 = (2 + 4)/(2) = 3

Passo 3

Como Delta = 16 > 0 , a solução da EDO homogênea será:

y_h = C_1 e^(r_1 t) + C_2 e^(r_2 t)

y_h = C_1 e^(- t) + C_2 e^(3 t)

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y_p = ( A t + B t^2 ) e^(- t)

Substituiremos y_p na EDO do problema para assim, determinar as constantes A e B.

y '_p = [ A + (2 B - A) t - B t^2 ] e^(- t)

y ' '_p = [ 2 ( B - A ) + (- 4 B + A) t + B t^2 ] e^(- t)

Lembrando que, y ' '_p - 2 y '_p - 3 y_p = - 3 t e^(- t)

{ 2 (B - A) + (- 4 B + A) t + B t^2 - 2 [A + (2 B - A) t - B t^2] - 3 [ A t + B t^2 ] } e^(- t) = - 3 t e^(- t)

[ 2 (B - 2 A) - 8 B t ] e^(- t) = - 3 t e^(- t)

Para manter a igualdade,

- 8 B = - 3

B = (3)/(8)

2 (B - 2 A) = 0

B - 2 A = 0

A = (B)/(2) = (3)/(16)

Substituindo A e B na solução particular,

y_p = ((3)/(16) t + (3)/(8) t^2) e^(- t)

Passo 5

A solução da EDO será

y = y_h + y_p

y = C_1 e^(- t) + C_2 e^(3 t) + ((3)/(16) t + (3)/(8) t^2) e^(- t)

Resposta

y = C_1 e^(- t) + C_2 e^(3 t) + ((3)/(16) t + (3)/(8) t^2) e^(- t)

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