Encontre a solução geral da equação diferencial

y'' + 2y' = 3 + 4sen2t

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y h ). Lembrando que a EDO homogênea é y ' ' + 2 y ' =   0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y h +   y p .

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y ' ' passa a ser r 2 , y ' passa a ser r 2 .

r 2 + 2 r = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o ∆   =   b 2 - 4 a c   e utilizaremos a fórmula de Bhaskara r = - b ± ∆ 2 a .

Sendo que a = 1 , b = 2 .

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆   > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y =   C 1 e r 1 t +   C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆   < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y =   e α t C 1 c o s β t +   C 2 s e n β t

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

∆   =   b 2 - 4 a c

∆   =   2 2 - 4 1 0

∆   =   4

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = - b ± ∆ 2 a

r = - 2 ± 4 2 ( 1 )

r = - 2 ± 2 2

r 1 = - 2 + 2 2 = 0

e

r 2 = - 2 - 2 2 = - 2

Passo 3

Como ∆   =   4   > 0 , a solução da EDO homogênea será:

y h =   C 1 e r 1 t +   C 2 e r 2 t

y h =   C 1 +   C 2 e - 2 t

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y p = y p 1 +   y p 2

Onde,

y p 1 = A + B t  

Que satisfaz a equação

y ' ' p 1 + 2 y ' p 1 =   3

y p 2 = C s e n 2 t + D c o s 2 t

Que satisfaz a equação

y ' ' p 2 + 2 y ' p 2 =   4 s e n 2 t

Substituiremos y p 1 na EDO do problema para assim, determinar as constantes A e B.

y ' p 1 = B

y ' ' p 1 = 0

Lembrando que, y ' ' p 1 + 2 y ' p 1 =   3

0 + 2 B =   3

B =   3 2

Logo,

y p 1 = A + 3 2 t  

Podemos escolher qualquer valor real para constate A. Para facilitar faremos A = 0.

y p 1 = 3 2 t

Substituiremos y p 2 na EDO do problema para assim, determinar as constantes C e D.

y ' p 2 = 2 C c o s 2 t - 2 D s e n 2 t

y ' ' p 2 = - 4 C s e n 2 t - 4 D c o s 2 t

Lembrando que, y ' ' p 1 + 2 y ' p 1 =   4 s e n 2 t

- 4 C s e n 2 t - 4 D c o s 2 t + 4 C c o s 2 t - 4 D s e n 2 t =   4 s e n 2 t

- 4 C - 4 D s e n 2 t +   ( 4 C - 4 D ) c o s 2 t =   4 s e n 2 t

Para manter a igualdade,

4 C - 4 D = 0

C = D

E

- 4 ( D ) - 4 D = 4

- 8 D = 4

D = -   4 8 =   -   1 2  

C = -   1 2  

Logo,

y p 2 = -   1 2   s e n 2 t -   1 2   c o s 2 t

Portanto, a solução particular da EDO será

y p =   3 2 t   -   1 2   s e n 2 t -   1 2   c o s 2 t

Passo 5

A solução da EDO será

y = y h +   y p

y =     C 1 +   C 2 e - 2 t + 3 2 t   -   1 2   s e n 2 t -   1 2   c o s 2 t

Resposta

y =     C 1 +   C 2 e - 2 t + 3 2 t   -   1 2   s e n 2 t -   1 2   c o s 2 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados