Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial

y^(' ') + 2 y^' = 3 + 4 s e n 2 t

Passo 1

O objetivo desse exercício é determinar a solução geral da EDO dada. Para isso, utilizaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados.

Primeiramente, vamos determinar a solução da EDO homogênea ( y_h ). Lembrando que a EDO homogênea é y^(' ') + 2 y^' = 0 .

Em seguida, determinaremos a solução particular da EDO ( y_p ).

E por fim, acharemos a solução geral da EDO somando a solução homogênea com a solução particular, y = y_h + y_p .

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, devemos achar a equação característica da EDO. Para isso, y^(' ') passa a ser r^2 , y^' passa a ser r^2 .

r^2 + 2 r = 0

Para resolver essa equação do 2º grau, encontraremos o Delta = b^2 - 4 a c e utilizaremos a fórmula de Bhaskara (r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)) .

Sendo que a = 1 , b = 2 .

Importante!!!

  • Se o resultado do Delta > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a solução será:
  • y = C_1 e^(r_1 t) + C_2 t e^(r_2 t)

  • Se o resultado do Delta < 0 , teremos duas raízes complexas, e a solução será:

y = e^(alpha t) (C_1 c o s beta t + C_2 s e n beta t)

Com isso em mãos vamos determinar as raízes da equação características.

Delta = b^2 - 4 a c

Delta = (2)^2 - 4 (1) (0)

Delta = 4

Substituindo na fórmula de Bhaskara.

r = (- b +- sqrt(Delta))/(2 a)

r = (- 2 +- sqrt(4))/(2 ( 1 ))

r = (- 2 +- 2)/(2)

r_1 = (- 2 + 2)/(2) = 0

e

r_2 = (- 2 - 2)/(2) = - 2

Passo 3

Como Delta = 4 > 0 , a solução da EDO homogênea será:

y_h = C_1 e^(r_1 t) + C_2 e^(r_2 t)

y_h = C_1 + C_2 e^(- 2 t)

Passo 4

Para achar a solução particular, vamos supor uma solução do tipo:

y_p = y_p 1 + y_p 2

Onde,

y_p 1 = A + B t

Que satisfaz a equação

y ' '_p 1 + 2 y '_p 1 = 3

y_p 2 = C s e n 2 t + D c o s 2 t

Que satisfaz a equação

y ' '_p 2 + 2 y '_p 2 = 4 s e n 2 t

Substituiremos y_p 1 na EDO do problema para assim, determinar as constantes A e B.

y '_p 1 = B

y ' '_p 1 = 0

Lembrando que, y ' '_p 1 + 2 y '_p 1 = 3

0 + 2 B = 3

B = (3)/(2)

Logo,

y_p 1 = A + (3)/(2) t

Podemos escolher qualquer valor real para constate A. Para facilitar faremos A = 0.

y_p 1 = (3)/(2) t

Substituiremos y_p 2 na EDO do problema para assim, determinar as constantes C e D.

y '_p 2 = 2 C c o s 2 t - 2 D s e n 2 t

y ' '_p 2 = - 4 C s e n 2 t - 4 D c o s 2 t

Lembrando que, y ' '_p 1 + 2 y '_p 1 = 4 s e n 2 t

- 4 C s e n 2 t - 4 D c o s 2 t + 4 C c o s 2 t - 4 D s e n 2 t = 4 s e n 2 t

(- 4 C - 4 D) s e n 2 t + ( 4 C - 4 D ) c o s 2 t = 4 s e n 2 t

Para manter a igualdade,

4 C - 4 D = 0

C = D

E

- 4 ( D ) - 4 D = 4

- 8 D = 4

D = - (4)/(8) = - (1)/(2)

C = - (1)/(2)

Logo,

y_p 2 = - (1)/(2) s e n 2 t - (1)/(2) c o s 2 t

Portanto, a solução particular da EDO será

y_p = (3)/(2) t - (1)/(2) s e n 2 t - (1)/(2) c o s 2 t

Passo 5

A solução da EDO será

y = y_h + y_p

y = C_1 + C_2 e^(- 2 t) + (3)/(2) t - (1)/(2) s e n 2 t - (1)/(2) c o s 2 t

Resposta

y = C_1 + C_2 e^(- 2 t) + (3)/(2) t - (1)/(2) s e n 2 t - (1)/(2) c o s 2 t

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Para a mola do exercício 3 , determine a massa que produziria amortecimento crítico.
Para a mola do exercício 4 , determine a constante de amortecimento que produziria amortecimento crítico.
Como no exercício 9 , considere uma mola com uma massa m presa a ela, constante da mola k e constante de amortecimento c = 0 , e seja ω = k / m . Se uma força externa F t = F 0 c o s ⁡ ( ω t ) for apl
Mostre que se ω 0 ≠ ω , mas ω / ω 0 é um número racional, então o movimento descrito pela equação 6 é periódico.
Verifique que a solução para a equação 1 pode ser escrita na forma x t = Ac o s ⁡ ( ω t + δ ) .