Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

4 y ' ' - 4 y ' - 3 y = 0

Passo 1

Primeiramente, vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então y ' ' passa a ser x 2 , y ' p a s s a a ser x , e y é o termo independente.

4 x 2 - 4 x - 3 = 0

Sendo: a = 4 ,   b = - 4 ,   c = - 3 .

Então para encontrar o usamos a fórmula de Bháskara.

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 t + C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos duas raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   t   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bháskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - ( - 4 ) ± ( - 4 ) 2 - 4 . 4 . ( - 3 ) 2 . 4

x = 4 ± 16 + 48 2.4

x = 4 ± 64 8

x = 4 ± 8 8

x ' = 4 + 8 8 = 12 8 = 3 2 ,     x ' ' = 4 - 8 8 = - 4 8 = - 1 2

Passo 2

Como ∆ > 0 , a solução é:

y = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

Substituindo os valores das raízes:

y = C 1 e 3 2 t + C 2 e - 1 2 t

Resposta

Então encontramos a resposta.

y = C 1 e 3 2 t + C 2 e - t 2

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Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce. y ' ' + 4 y ' + 4 y = 0 , y - 1 = 2 ,y ' - 1 = 1 .
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada. t 2 y ' ' - 4 t y ' + 6 y = 0 , t0 ; y 1 t = t 2
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada. t 2 y ' ' + 2 y ' - 2 y = 0 , t0 ; y 1 t = t