Enunciado

Uma massa pesando 2   l b (cerca de 900 g ) estica uma mola de 6   i n (polegadas; 6   i n ≈ 15   c m ).

Se a massa é puxada 3   i n adicionais para baixo e depois é solta, e se não há amortecimento determine a posição s da massa em qualquer instante t . Faça o gráfico de s um função de t . Encontre a frequência, o período e a amplitude do movimento.

Passo 1

Vamos inicialmente fazer algumas considerações físicas do nosso problema para formula-lo matematicamente, ok?

Temos uma massa de 0,9 k g (unidade no SI) suspensa por uma mola de tamanho de 15   c m = 0,15 m (unidade no SI), que chamamos de posição de repouso.

Vamos puxá-la para baixo por mais 7,5 c m = 0,075 m e depois soltá-la. Se não há amortecimentos, temos um caso ideal onde a mola tenderia a simplemente oscilar infinitamente sem parar.

Equacionando nosso problema, temos

F = m a

Segunda Lei de Newton

No caso de molas, que são consideradas formas restauradoras, temos que

F =   - k s

Onde k é a contantes da mola, e s é sua posição em relação à posição de repouso.

Desta forma ficamos com

m a = m s ' ' = - k s

Nossa equação diferencial.

Já resolvemos anteriormente problemas assim, mas a seção também aborda essa equação diferencial e nos da como solução

s = A cos ⁡ ω 0 t + B   s e n   ω 0 t

Onde

ω 0 2 = k / m

Chamada de frequência natural.

Qualquer duvida com relação a isso, olhar as Eq. (12) e (13).

Outra coisa que estamos interessados é no período definido como

T = 2 π ω 0

E uma vez que, conseguimos escrever nossa função como

s = R cos ⁡ ( ω 0 t - δ )

R será a nossa amplitude.

Agora que tudo foi explicado, podemos começar nosso problema, certo?

Passo 2

Uma teoria “grande”, mas perceba que esse problema será rápido.

Primeiro observe a condição inicial do nosso problema

Onde

P = m g = - k x 0

Onde

k m = - g x 0 = - - 9,8 m s 0,15   m = 65,33 1 s

Assim temos que a nossa frequência será

ω 0 = k m = 65,33 ≈ 8,082   r a d

Nosso período é dado como já mencionado, por

T = 2 π ω 0 = π 4,041 s

E por fim, temos a nossa amplitude, que perceba, é mais simples do que parece. Se puxamos a massa-mola em 7,5 c m = 0,075 m , então se não há amortecimentos, nossa amplitude será de

R = 0,075 m

Asisim vamos escrever nosso s como

s = 0,075 cos ⁡ 8,082   t

Passo 3

O gráfico solicitado pode ser visto a baixo

Resposta

ω 0 ≈ 8   r a d ,           T ≈ π 4 s   e R = 0,075 m

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