Enunciado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução...

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você??

Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Vamos lembrar que a solução de uma EDO não-homogênea é dada pela soma de uma solução homogênea com uma solução particular:

y t = y h t + y p ( t )

Vamos achar cada uma delas!

Passo 2

Beleza!! Então, primeira coisa é achar a equação característica dessa equação, para encontrar nossa solução homogênea:

y ' ' ' + 4 y ' = t

Como fazer isso? Bem, vamos escrever uma equação em que o grau da variável será o mesmo grau da derivada e igualar ela a 0. Vai ficar mais claro escrevendo, olha só como fica nossa equação característica:

r 3 + 4 r = 0

Vamos encontrar as raízes dessa equação. Podemos colocar o r em evidência:

r r 2 + 4 = 0

Opa, isso nos dá que uma das raízes é 0. E as outras duas? Elas virão da equação de 2° grau do parênteses:

r 2 + 4 = 0

r 2 = - 4

r = ± - 4

r = ± 2 i

Tranquilo até aqui? Ok, e como fica nossa solução homogênea? Vamos com calma. Temos 3 raízes e duas são complexas. Vamos ver a raiz r = 0 primeiro. Sua solução seria assim:

y = C 1 e 0 t = C 1

Beleza? A complexas são dadas por:

y = e 0 t C 2 cos ⁡ 2 t + C 3 sen ⁡ 2 t = C 2 cos ⁡ 2 t + C 3 sen ⁡ 2 t

Opa, para chegarmos na solução homogênea completa, basta somar essas duas que achamos:

y h t = C 1 + C 2 cos ⁡ 2 t + C 3 sen ⁡ 2 t

Agora, vamos para a solução particular!

Passo 3

Agora, para achar a solução particular, temos que olhar para a função que está à direita do igual:

y p ' ' ' +   4 y p '   = t

Hmmm, essa função é t . Então, qual seria uma boa solução particular para essa EDO? Podemos chutar uma solução y p = A t 2 + B t . Ok? E, substituindo isso na EDO:

y p ' = 2 A t + B

y p ' ' = 2 A

y p ' ' ' = 0

Assim:

4 2 A t + 4 B = t

8 A t + 4 B = t

Por comparação entre os dois lados da igualdade, vemos que:

8 A t = t

8 A = 1

A = 1 8

E:

B = 0

Opa, dessa forma, nossa solução particular será:

y p ( t ) = t 2 8

Agora é só juntar as souções particular e homogênea, para termos a geral:

y t = C 1 + C 2 cos ⁡ 2 t   + C 3 sin ⁡ 2 t   + t 2 8

Passo 4

Para achar as constantes, vamos substituir as condições iniciais:

y 0 = y ' 0 = 0

y ' ' 0 = 1

Dessa forma, temos que:

y t = C 1 + C 2 cos ⁡ 2 t   + C 3 sin ⁡ 2 t   + t 2 8

y ' t = - 2 C 2 s en ⁡ 2 t   + 2 C 3 cos ⁡ 2 t   + t 4

y ' ' t = - 4 C 2 cos ⁡ 2 t   - 4 C 3 s en ⁡ 2 t   + 1 4

Assim:

y 0 = C 1 + C 2 cos ⁡ 0   + C 3 sin ⁡ 0   + 0 2 8 = 0

C 1 + C 2 = 0

C 1 = - C 2

E:

y ' 0 = - 2 C 2 sen ⁡ 0   + 2 C 3 cos ⁡ 0   + 0 4 = 0

2 C 3 = 0

C 3 = 0

Opa, já achamos uma constante. Mas ainda temos:

y ' ' 0 = - 4 C 2 cos ⁡ 0   - 4 C 3 sen ⁡ 0   + 1 4 = 1

- 4 C 2 + 1 4 = 1

4 C 2 = 1 4 - 1 = - 3 4

C 2 = - 3 16

Hehehe e como já vimos ali em cima, temos que C 1 = - C 2 , então:

C 1 = 3 16

Passo 5

Tudo certo!! Falta só substituir os valores na solução que tínhamos, ficando com:

y t = C 1 + C 2 cos ⁡ 2 t   + C 3 sin ⁡ 2 t   + t 2 8

y t = 3 16 - 3 16 cos ⁡ 2 t   + t 2 8

E fazer seu gráfico:

Prontinho! Acabou! 😊

Resposta

y t = 3 16 - 3 16 cos ⁡ 2 t   + t 2 8

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