Enunciado

Encontre ( f - 1 ) ' ( x )   usando a Fórmula 2 e confira sua resposta derivando diretamente f - 1 .

Se:

f x = l n ⁡ ( 2 x + 1 )

Passo 1

A primeira coisa que faremos nesse problema é inverter x   por   y :

f x = l n ⁡ ( 2 x + 1 )

Invertendo os termos, temos:

x = l n ⁡ ( 2 y + 1 )

Multiplicando os dois lados da equação por exponencial e isolando o y na equação invertida, ficamos com:

e x = 2 y + 1

f - 1 = y = e x - 1 2

Esse valor é o nosso f - 1 .

Passo 2

O próximo passo, é tirar a derivada da função:

f x = ln ⁡ 2 x + 1

f ' x = 2 2 x + 1

Aplicando na fórmula para encontrar ( f - 1 ) ' ( x )   :

( f - 1 ) ' ( x ) = 1 f ' ( f - 1 x )

Sabendo a nossa derivada, substituímos o valor 2 x - 3 por x :

( f - 1 ) ' ( x ) = 1 f ' e x - 1 2 = 2 . 1 2 e x - 1 2 + 1 2 = e x 2

Passo 3

Quando diferenciamos diretamente ( f - 1 ) :

y = e x - 1 2

y ' = e x 2

Resposta

y ' = e x 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

10. Suponha que a função derivável y = g ( x ) tenha uma inversa e que o gráfico de g passe pela origem com um coeficiente angular de 2. Determine o coeficiente angular do gráfico de g - 1 na origem.
Nos Exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.39. y = ln ⁡ x + 1 5 x + 2 20
9. Suponha que a função derivável y = f ( x ) tenha uma inversa e que o gráfico de f passe pelo ponto ( 2 ,4 ) e tenha um coeficiente angular de 1 / 3 nesse ponto. Determine o valor de d f - 1 / d x e
Nos Exercícios 1-4:a. Determine f - 1 ( x ) .b. Esboce em um único gráfico f e f - 1 c. Calcule d f / d x em x = a e d f - 1 / d x em x = f ( a ) para mostrar que nesses pontos d f - 1 / d x = 1 / ( d
6.a. Mostre que h ( x ) = x 3 / 4 e k ( x ) = 4 x 1 / 3 são inversas uma da outra.b. Esboce h e k juntas em um intervalo de x suficientemente grande para mostrar o cruzamento de ambos em ( 2 ,2 ) e (