Lista de Exercícios Resolvidos de Derivada da Função Inversa

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Considere g a função inversa de f . Sejam f 2 = 3 , f ' 2 = 5 . Determine:

a Determine g 3 .

b Determine g ' 3 .

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Ache g ' 1 , sendo g a inversa de f , e f x = x 5 + x 3 + 7 x + 1 .

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Seja a função

f x = 6 x 4 + 8 x 2 + 1

Determine o maior intervalo onde f é invertível.

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Sejam f , g e h funções reais de classe C ∞ , com g uma função inversível e

f x = g - 1 x cosh ⁡ h x

a Calcule f ' em termos de g , g - 1 , h , g ' e h ' . Justifique sua resposta.

b Calcule f ' 0 sabendo que g 0 = 1 , g ' 0 = 2 , g 3 = 0 , g ' 3 = 5 , h 0 = 0 e h ' 0 = 7 . Justifique sua resposta.

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Seja f x = x 2 - 2 x para x < 1

a A função f é inversível?

b Determine uma expressão pra a função f - 1 , a inversa de f

c Calcule a derivada de f - 1 em y = 7

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Considere a função

f x = 1 + a x 3 s e   x ≤ 0 1 - x 2 - x 3 s e   x > 0

Onde a é uma constante.

a Mostre que f restrita a 0 , + ∞ possui uma inversa f - 1

b Determine f - 1 - 1

c Determine f - 1 ' - 1

d Determine um valor de a tal que f seja inversível em R

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Seja

f x = x + e x + arctan ⁡ ( 2 x )

a) Determine f ' , a derivada da função g

b) Determine a derivada da inversa de f em ( f 0 ,   0 )

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Seja

g x = 5 + log 1 5 ⁡ ( 2 + x )

a) Calcule g ( 3 )

b) Determine g ' , a derivada da função g

c) A função g é inversível? Justifique.

d) Determine a expressão para g - 1 , a inversa da função g

e) Esboce o gráfico de g , assinalando os pontos onde o gráfico intercepta os eixos.

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Seja h x = log 3 ⁡ 2 x 3 + x ,           x > 0 :

( a ) Calcule a derivada de h ( x ) ;

( b ) A função h possui inversa?

( c ) Seja a = h 1 , determine o valor de a ;

( d ) Calcule a derivada da inversa de h em a ;

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Seja g x = ln ⁡ 2 + ln ⁡ x :

( a ) Determine o domínio de g ;

( b ) g é inversível? Se for, qual o domínio da inversa de g ?

( c ) Determine g - 1 ' ln ⁡ 3 .

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Considere a função tangente:

( a ) Determine o maior intervalo contendo 17 π 4 tal que a função tangente restrita a este intervalo seja inversível;

( b ) Seja h a inversa da função mencionada no item a , determine uma expressão para h em função de a r c t g ;

( c ) Calcule h ' ( 1 ) .

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Considere g a função inversa de f . Sejam f 2 = 3 , f ' 2 = 5 E f ' ' 2 = 7 . Determine:

a Determine g 3 .

b Determine g ' 3 .

c Determine g ' ' 3 .

Sugestão: derive f g x = x duas vezes.

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d Ache g ' 1 , sendo g a inversa de f , e f x = x 5 + x 3 + 7 x + 1 .

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Considere a função f x = 1 + sen ⁡ x 2 .

a Determine f 17 π 3 .

b Determine o maior intervalo contendo 17 π 3 tal que f seja invertível.

c A reta tangente ao gráfico desta inversa de f no ponto f 17 π 3 , 17 π 3 .

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Seja

f x = 1 - x 3 ,   x ≤ 0 1 - x 2 ,   x > 0

Se f - 1 existir, calcule ( f - 1 ) ' ( x ) e esboce os gráficos de f e f - 1 .

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Seja h x = cos ⁡ x para x ∈ π , 3 π 2

( a ) Determine uma expressão para a inversa de h neste intervalo

b Esboce o gráfico de h e da sua inversa no mesmo plano cartesiano

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Seja:

f x = 5 - log 3 ⁡ 4 - x

Determine uma expressão para a inversa de f .

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Determine:

arcsen ⁡ sen ⁡ - 17 π 6

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Seja: g x = x 5 + 3 x

Determine: g - 1 ' 4

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Seja

g x = 1 - 2 tg ⁡ x / π

Determine g - 1 ' 0 .

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Seja:

f x = ln ⁡ - 3 x - x 2

Calcule a derivada de f .

Determine um intervalo I , o maior possível, tal que - 1 ∈ I e que f seja invertível.

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Seja f a função definida por f x = sen ⁡ ( x 2 ) mostre que a função f é inversível no intervalo 0 ,   π 2

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Seja f x = 2 x 2 + 1 arctan ⁡ x , x   ϵ   R

  1. Mostre que f é invertível
  2. Verifique que f - 1 = - π e calcule ( f - 1 ) ' ( - π )

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Questão 2:

Seja f x = 2 cos ⁡ π x .

  1. Considere como domínio de f o maior possível para que f seja inversível e para que o gráfico de f - 1 (a função inversa de f ) passe pelo ponto P = 2 ,   - 1 4 . Nestas condições, determine o domínio de f , o domínio de f - 1 , e uma expressão para f - 1 .
  2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f - 1 em x = 2 .

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Seja f x = x 2 - 2 x para x < 1

  1. A funçã0 f é inversível?
  2. Determine uma expressão pra a função f - 1 , a inversa de f
  3. Calcule a derivada de f - 1 em 7

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Seja

f x = 2 - 3 5 4 - x

Determine uma expressão para a inversa de f .

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