Enunciado

Encontre o valor exato de ∫ C x 3 y 2 z d s   , onde C é a curva com equações paramétricas x = e - t cos ⁡ 4 t ,     y = e - t   s e n 4 t ,     z = e - t   ,         0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

Galera, temos que deixar toda a integral escrita somente em função de t , assim:

x 3 y 2 z = e - t cos ⁡ 4 t 3 e - t   s e n 4 t 2 e - t = e - 6 t cos 3 ⁡ ( 4 t ) s e n 2 ( 4 t )

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t = - e - t cos ⁡ 4 t - 4 e - t   s e n 4 t 2 + - e - t sen ⁡ 4 t + 4 e - t cos ⁡ 4 t 2 + - e - t 2   d t = e - t 2 [ 4   s e n 4 t + cos ⁡ 4 t 2 + s e n 4 t - 4 cos ⁡ 4 t 2 + 1   d t = e - t 16 s e n 2 4 t + cos 2 ⁡ 4 t + s e n 2 4 t + cos 2 ⁡ ( 4 t ) + 1   d t = 3 2   e - t   d t

Passo 2

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

∫ C x 3 y 2 z d s = ∫ 0 2 π 3 2   e - 7 t cos 3 ⁡ 4 t s e n 2 4 t   d t = 172704 5632705 2   1 - e - 14 π

O cálculo da integral foi feito por meio de um CAS.

Resposta

172704 5632705 2   1 - e - 14 π

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Calcule ∫ γ d x + d y + d z , onde γ é a interseção entre as superfícies y = x 2 e z = 2 - x 2 - y 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , sendo o sentido de percurso do ponto 1,1 , 0 para o ponto 0,0 , 2 .
Calcule ∫ γ xd x + yd y + z d z , onde γ é o segmento de extremidades 0,0 , 0 e 1,2 , 1 , percorridos no sentido de 1,2 , 1 para 0,0 , 0 .
Calcule ∫ γ xd x + d y + 2d z , onde γ é a interseção do paraboloidez = x 2 + y 2 com o plano z = 2 x + 2 y - 1 ; o sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ t , no plano x y
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule ∫ γ 2 y d x + z d y + x d z , onde γ é a interseção das superfícies x 2 + 4 y 2 = 1 e x 2 + z 2 = 1 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , sendo o sentido de percurso do ponto 1 , 0 , 0 para o ponto - 1 , 0,0 .