Enunciado

A equação diferencial de um peso em uma mola é x ' ' + 16 x = 0 . Se o peso for solto em t = 0 será 1   m acima da posição de equilíbrio com uma velocidade de 3   m / s para baixo, a amplitude das vibrações será _________ m.

Passo 1

Opa! Tudo bem?

Vamos resolver essa EDO aí:

x ' ' + 16 x = 0

A equação auxiliar é:

m 2 + 16 = 0

Daí temos:

m 1 = 4 i

m 2 = - 4 i

Beleza, a solução então é da forma:

x t = c 1 cos ⁡ 4 t + c 2 sen ⁡ 4 t

Passo 2

Agora a gente vai usar as condições iniciais para descobrir o c 1 e   c 2 . Temos que:

x 0 = 1

x ' 0 = - 3

Substituindo isso na solução que encontramos, temos:

x 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 1 → c 1 = 1

Derivando x t :

x ' t =   - 4 c 1 sen ⁡ 4 t + 4 c 2 cos ⁡ 4 t

x ' 0 =   - 4 c 1 sen ⁡ 0 + 4 c 2 cos ⁡ 0 = - 3

4 c 2 = - 3 → c 2 = - 3 4

Então temos a solução:

x t = cos ⁡ 4 t - 3 4 sen ⁡ 4 t

Passo 3

Agora a gente calcula a amplitude:

A = c 1 2 + c 2 2

A = 1 2 + 3 4 2 = 25 16 = 5 4

Então a amplitude é 5 4   m   😉

Resposta

5 4   m

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