Enunciado

(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.

(b) Determine r’(t).

(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t.

r t = s e n   t   i + 2 cos ⁡ t   j ,                                     t = π / 4  

Passo 1

As equações paramétricas correspondentes à função vetorial dada são

x = s e n   t                   y = 2 cos ⁡ t

Sabemos que s e n 2   t + cos 2 ⁡ t = 1 . Logo, temos:

x 2 + y 2 2 2 = 1

Essa equação é uma outra forma de apresentação da função vetorial r ( t ) . Essa forma é bem mais conhecida por nós e representa uma elipse de parâmetros a = 1 e b = 2 . Portanto, o gráfico da curva referente à r ( t ) é

Passo 2

Determinamos r ' ( t ) derivando as componentes de r ( t ) .

r t = s e n   t   i + 2 cos ⁡ t   j               →                 r ' t = c o s   t   i - 2 sen ⁡ t   j

Passo 3

O vetor posição r ( t ) em t = π / 4 é

r π / 4 = s e n π 4   i + 2 cos ⁡ π 4   j

r π / 4 = 2 2   i + 2 ⁡   j

Por outro lado, o vetor tangente em t = π / 4 , tem origem no ponto ( 2 / 2 , 2 ) e é dado por

r ' π / 4 =   c o s π 4   i - 2 sen ⁡ π 4   j

r ' π / 4 =   2 2   i - 2 ⁡   j

Com base nos resultados obtidos podemos representar esses vetores conforme mostrado na figura abaixo:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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