Enunciado

Seja D um sólido esférico de raio r. A temperatura em cada um de seus pontos é proporcional à distância do ponto até a superfície da esfera.

  1. Usando coordenadas cartesianas, determinar a função que define o campo de temperatura.

Passo 1

É isso aí galerinhaa, vamos começar outraa!

Teremos algo bem parecido com isso aqui:

Então, a distância de um ponto P até a superfície será dada pelo raio menos a distância do mesmo até a origem.

Antes de qualquer coisa veremos como se calcula a distância de um ponto a outro:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

Sabendo que ( x 0 , y 0 , z 0 ) são referentes ao ponto 0 ,   0 ,   0 . Substituindo:

d = x 2 + y 2 + z 2

Então a distância de P à superfície será:

d P = r - x 2 + y 2 + z 2

Como a temperatura é proporcional à distância:

T ∝ r - x 2 + y 2 + z 2

Para podermos achar uma igualdade devemos acrescentar uma constante:

T = k ( r - x 2 + y 2 + z 2 )

E assim terminamos a letra (a) !!

Bora pra (b) ...

Resposta

T = k ( r - x 2 + y 2 + z 2 )

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