Esboce o gráfico da função racional:

y = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) / (x^2 + x - 2)

Passo 1

Primeiramente, vemos que o domínio da função é R - { - 2 } (não pode zerar o denominador)

Podemos resolver isso derivando direto, ou simplificando primeiro. Vamos simplificar. Se dividirmos x 3   - 3 x 2 + 3 x - 1 por x 2 + x - 2   (divisão de polinômio hein...) encontramos quociente x - 4 e resto 9 x - 9 . Então, podemos reescrever nossa função como:

y =   x - 4 + 9 x - 9 x 2 + x - 2   = x - 4 + 9 x - 1 x - 1 x + 2 = x - 4 + 9 x + 2

Vamos continuar...

Passo 2

Agora a gente encontra a derivada primeira e segunda...

y ' = 1 - 9 x + 2 2

y ' ' =   - 18 x + 2 3

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = 1 - 9 x + 2 2 = 0 → 1 =   9 x + 2 2 → x + 2 2 = 9 → x + 2 =   ± 3 → x = 1   o u   x = - 5

Pelo teste da derivada segunda: y ' ' 1 =   - 2 3 < 0 e y ' ' - 5 = + 2 3 > 0

Então, temos um ponto máximo em ( 1,0 ) e um ponto mínimo ( - 5 ,   - 12 ) .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y ' = 1 - 9 x + 2 2

Sabemos que a função resulta em zero quando x = 1 e x =   - 5 e não está definida em x = - 2 .

Vejamos então...

Então, a função é crescente em ( - ∞ ,   - 5 ) e em 1 ,   ∞   e decrescente em ( - 5 ,   - 2 )   e ( - 2,1 ) .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu y ' ' =   - 18 x + 2 3 , então vamos analisar o sinal nos intervalos anteriores:

Vemos então que y ' ' será positiva se x + 2 3 < 0 → x + 2 < 0 → x < - 2

Então, a concavidade é para baixo em - 2 ,   ∞ e para cima em ( - ∞ ,   - 2 ) .

A função muda a concavidade em x = - 2 , porém não temos um ponto no local já que ele não pertence ao domínio.

Vamos ter uma assíntota vertical em x = - 2

Passo 4

Podemos encontrar ainda os pontos onde a função corta os eixos coordenados:

  • Corta o eixo y em: x = 0 :

y 0 = 1 2 → ( 0 , 1 2 )

A função corta o eixo x em x = 1 , como vemos na fatoração do polinômio.

( 1 ,   0 )

Passo 5

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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