Enunciado

Esboce o gráfico da função racional:

y = (( x^(3 ) - 3 x^2 + 3 x - 1 ))/(x^2 + x - 2)

Passo 1

Primeiramente, vemos que o domínio da função é R - { - 2 } (não pode zerar o denominador)

Podemos resolver isso derivando direto, ou simplificando primeiro. Vamos simplificar. Se dividirmos x^(3 ) - 3 x^2 + 3 x - 1 por x^2 + x - 2 (divisão de polinômio hein...) encontramos quociente x - 4 e resto 9 x - 9 . Então, podemos reescrever nossa função como:

y = x - 4 + (9 x - 9)/(x^2 + x - 2) = x - 4 + (9 (x - 1))/((x - 1) (x + 2)) = x - 4 + (9)/(x + 2)

Vamos continuar...

Passo 2

Agora a gente encontra a derivada primeira e segunda...

y^' = 1 - (9)/((x + 2)^2)

y^(' ') = - (18)/((x + 2)^3)

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y^' = 1 - (9)/((x + 2)^2) = 0 -> 1 = (9)/((x + 2)^2) -> (x + 2)^2 = 9 -> x + 2 = +- 3 -> x = 1 o u x = - 5

Pelo teste da derivada segunda: y^(' ') (1) = - (2)/(3) < 0 e y^(' ') (- 5) = + (2)/(3) > 0

Então, temos um ponto máximo em ( 1,0 ) e um ponto mínimo ( - 5 , - 12 ) .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

y^' = 1 - (9)/((x + 2)^2)

Sabemos que a função resulta em zero quando x = 1 e x = - 5 e não está definida em x = - 2 .

Vejamos então...

Então, a função é crescente em ( - oo , - 5 ) e em (1 , oo) e decrescente em ( - 5 , - 2 ) e ( - 2,1 ) .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu y^(' ') = - (18)/((x + 2)^3) , então vamos analisar o sinal nos intervalos anteriores:

Vemos então que y ' ' será positiva se (x + 2)^3 < 0 -> x + 2 < 0 -> x < - 2

Então, a concavidade é para baixo em (- 2 , oo) e para cima em ( - oo , - 2 ) .

A função muda a concavidade em x = - 2 , porém não temos um ponto no local já que ele não pertence ao domínio.

Vamos ter uma assíntota vertical em x = - 2

Passo 4

Podemos encontrar ainda os pontos onde a função corta os eixos coordenados:

  • Corta o eixo y em: x = 0 :

y (0) = (1)/(2) -> ( 0 , (1)/(2) )

A função corta o eixo x em x = 1 , como vemos na fatoração do polinômio.

( 1 , 0 )

Passo 5

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos loc
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