Lista de Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

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Considere

f x = - x e x                       ,       s e   x ≤ 0 x ln ⁡ x               ,       s e   x > 0

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Utilizando as informações obtidas abaixo nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

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Considere a função:

f x = x x 2 - 1 3

Cujas derivadas primeira e segunda são, respectivamente:

f ' x = x 2 - 3 3 x 2 - 1 4 3

f ' ' x = 2 x ( 9 - x 2 ) 9 x 2 - 1 7 3

  1. O domínio da função;
  2. As assíntotas horizontais e verticais, caso existam;
  3. Os intervalos onde a função é crescente e decrescente;
  4. Os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam;
  5. Os intervalos onde a concavidade é para cima, onde é para baixo e os pontos de inflexão;
  6. Utilizando as informações adquiridas esboce um gráfico de f .

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Considere a função:

f x = x 3 e x

Cujas derivadas primeira e segunda são, respectivamente:

f ' x = 3 x - 2 x 2 2 e x x

f ' ' x = 4 x 3 - 12 x 2 + 3 x 4 x e x x

  1. O domínio da função;
  2. As assíntotas horizontais e verticais, caso existam;
  3. Os intervalos onde a função é crescente e decrescente;
  4. Os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam;
  5. Os intervalos onde a concavidade é para cima, onde é para baixo e os pontos de inflexão;
  6. Utilizando as informações adquiridas esboce um gráfico de f .

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Considere a função y = f x = x e - x . Determine:

( a ) O domínio de f ;

( b ) Os interceptos;

( c ) As simetrias de f ;

( d ) As assíntotas;

( e ) Intervalos de crescimento e decrescimento;

( f ) Valores máximos e mínimos locais;

( g ) Discuta concavidade e dê os pontos de inflexão;

( h ) Use a informação obtida para esboçar o gráfico de f .

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Considere a função:

f x = x 2 - 4 x - 12 x + 3

E as suas primeira e segunda derivadas.

f ' x = x 2 + 6 x x + 3 2

f ' ' x = 18 x + 3 3

a) Ache as assíntotas horizontais e verticais caso existam.

b) Identifique os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.

c) Encontre os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam.

d) Identifique os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

e) Usando as informações anteriores faça um esboço do gráfico de y = f ( x ) .

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Seja f x = e - 1 x x .

( a ) Determine o domínio de f e os intervalos de crescimento e decrescimento de f .

( b ) Verifique que f ' ' x = e - 1 x 2 x 2 - 4 x + a x 5 . Determine a e estude a concavidade de f .

( c ) Calcule os limites necessários e esboce o gráfico de f .

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Seja f x = x 3 x - 1 2 :

( a ) Calcule lim x → ∞ ⁡ f ( x ) , lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) , lim x → 1 + ⁡ f ( x ) e lim x → 1 - ⁡ f ( x ) ;

( b ) Verifique que f ' x = x - 3 x 2 x - 1 3 e determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;

( c ) Estude a concavidade de f ;

( d ) Pesquise a existência de assíntotas em e - ∞ ; esboce o gráfico de f .

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Dada a função f x = x - 5 ln ⁡ x + 2 - 6 x + 2 , determine:

d ) o esboço do gráfico de f ;

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Seja f x = 1 + 4 ln ⁡ x x 4 - 3 . Admita que f ' x = - 16 ln ⁡ x x 5 .

d ) Esboce o gráfico de f ;

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Esboce o gráfico de f x = x 2 - 4 x - 1 2 , determinando o seu domínio, os intervalos de crescimento e decrescimento, a concavidade e calculando todos os limites necessários.

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Esboce o gráfico de f x = x 3 e - x , determinando o seu domínio, os intervalos de crescimento e de decrescimento, concavidades e assíntotas (caso existam).

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Seja

f x = e 3 x - e 2 x

a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f

b) Determine os pontos de máximo e de mínimo de f

c) Determine todos os pontos de inflexão de f

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( a ) Decida se a proposição abaixo é verdadeira ou falsa justificando:

S e   x 0     é   u m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o ,   e n t ã o   f ' x 0 ≠ 0 .

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Considere f x = x 3                                           ,       s e   x < 0 arctg ⁡ x 2               ,       s e   x ≥ 0 :

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Esboce o gráfico da função.

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Considere

f x = x e x ,                       s e   x < 0 x - x 2 ,             s e   x ≥ 0

( a ) f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

( b ) Calcule lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) e lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) .

( c ) Determine os pontos críticos de f .

( d ) Em quais intervalos f é crescente?

( e ) Em quais intervalos f é decrescente?

( f ) Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

( g ) Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

( h ) Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

( i ) Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

( j ) Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

( k ) Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

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Considere uma função contínua f : R - 1 → R . Com as seguintes propriedades

  1. f é crescente nos intervalos 0,1 e 1,2
  2. f é decrescente nos intervalos - ∞ , 0 e 2 , ∞
  3. lim x → - ∞ ⁡ f x = 1 lim x → ∞ ⁡ f x = 0 lim x → 0 ⁡ f x = - 2 lim x → 1 + ⁡ f x = - ∞ lim x → 1 - ⁡ f x = ∞ f 2 = 3

Responda as questões abaixo

  1. Esboce o gráfico da função f
  2. Quanto vale f 0 ? Quanto vale lim x → 2 ⁡ f x ?
  3. Qual o número mínimo de soluções da equação f x = x ?

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Considere f x = arctg ⁡ x 2 , s e   x < 0 6 x 2 - 4 x 3 ,   s e 0 ≤ x < 2 e - x ,   s e x ≥ 2

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b f é contínua em x = 2 ? f é derivável em x = 2 ?

c Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

d Determine os pontos críticos de f .

e Em quais intervalos f é crescente?

f Em quais intervalos f é decrescente?

g Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

h Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

j Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

k Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

l Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

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Considere f x = x 3 + 3 x 2 + 1                                           ,       s e   x < 0 e - x 2                                                                           ,       s e   x ≥ 0 :

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Esboce o gráfico da função.

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Considere f definida por f x = e x + e - x

  1. Determine os pontos críticos de f .
  2. Em quais intervalos f é crescente?
  3. Em quais intervalos f é decrescente
  4. Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .
  5. Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .
  6. Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?
  7. Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?
  8. Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .
  9. Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x
  10. Utilizando as informações obtidas nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

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Esboce o gráfico da função f e dê explicitamente o que se pede:

  • Domínio D de f
  • Paridade de f
  • Equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico
  • Intervalos de D em que f é contínua
  • Pontos de D em que a tangente ao gráfico é vertical
  • Intervalos de D onde f é crescente e onde f é decrescente
  • Extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem
  • Intervalos onde a concavidade do gráfico é para cima, onde é para baixo e seus pontos de inflexão;
  • Extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
  • Imagem de f

f x = x - 1 x 2 / 3

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Seja g x = log 7 ⁡ x 2 - 1 2 :

( a ) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de g ;

( b ) Determine os pontos de máximos e mínimos locais de g ;

( c ) O gráfico da função g é.

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Considere f x = 1 1 + x 2                       ,       s e   x < 0 e x 2 - 2 x               ,       s e   x ≥ 0 :

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Utilizando as informações obtidas abaixo nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

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Considere f x = - x e x                       ,       s e   x ≤ 0 x ln ⁡ x               ,       s e   x > 0 :

a f é contínua em x = 0 ? f é derivável em x = 0 ?

b Calcule lim x → ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .

c Determine os pontos críticos de f .

d Em quais intervalos f é crescente?

e Em quais intervalos f é decrescente?

f Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .

g Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .

h Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?

i Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?

j Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .

k Utilizando as informações obtidas abaixo nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f .

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Considere a função y = f x = x e - x . Determine:

( a ) O domínio de f ;

( b ) Os interceptos;

( c ) As simetrias de f ;

( d ) As assíntotas;

( e ) Intervalos de crescimento e decrescimento;

( f ) Valores máximos e mínimos locais;

( g ) Discuta concavidade e dê os pontos de inflexão;

( h ) Use a informação obtida para esboçar o gráfico de f .

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Considere a função:

f x = x x 2 - 1 3

Cujas derivadas primeira e segunda são, respectivamente:

f ' x = x 2 - 3 3 x 2 - 1 4 3

f ' ' x = 2 x ( 9 - x 2 ) 9 x 2 - 1 7 3

  1. O domínio da função;
  2. As assíntotas horizontais e verticais, caso existam;
  3. Os intervalos onde a função é crescente e decrescente;
  4. Os valores máximo e mínimo locais e/ou globais caso existam;
  5. Os intervalos onde a concavidade é para cima, onde é para baixo e os pontos de inflexão;
  6. Utilizando as informações adquiridas esboce um gráfico de f .

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Considere a função f x = x ln ⁡ x , definida para x > 0 e x ≠ 1 .

  1. Calcule
  2. i lim x → 0 + ⁡ f x

    i i lim x → + ∞ ⁡ f x

    i i i lim x → 1 - ⁡ f x

    i v lim x → 1 + ⁡ f x

  3. Determine, se existirem:
    1. As assíntotas verticais e horizontais de f ;
    2. Os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente;
    3. Os pontos de máximo e mínimo locais e/ou globais (abscissa e ordenada);
    4. Os intervalos onde f tem concavidade para cima (convexa), concavidade para baixo (côncava) e os pontos de inflexão de f ;
  4. Faça um esboço do gráfico de f

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Considere a função: f x = x 4 - 4 x 3 .

( a ) Indique seu domínio e os interceptos.

( b ) Encontre os seus extremos, classifique-os e indique onde a função é crescente ou decrescente.

( c ) Indique onde a função tem concavidade para cima ou para baixo e determine seus pontos de inflexão, caso existam.

( d ) Esboce o gráfico da função.

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Considere a função y = f x = x x 2 + 9 . Determine:

( a ) O domínio de f ;

( b ) Os interceptos;

( c ) As simetrias de f ;

( d ) As assíntotas;

( e ) Intervalos de crescimento e decrescimento;

( f ) Valores máximos e mínimos locais;

( g ) Discuta concavidade e dê os pontos de inflexão;

( h ) Use a informação obtida para esboçar o gráfico de f .

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Esboce o gráfico da função

f x = e - x 2

determinando ( 1 ) domínio, ( 2 ) interceptos, ( 3 ) a existência de assíntotas verticais e horizontais, ( 4 ) intervalos de crescimento e decrescimento, ( 5 ) pontos extremos, ( 6 ) concavidade e ( 7 ) pontos de ineflexão.

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Encontre as assíntotas verticais e horizontais da seguinte função

f x = x 2 - 5 x x 2 - 6 x + 5

Depois faça um esboço do gráfico de f .

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Seja f x = x 2 e x :

( a ) Mostre que f ' x = e x ( x 2 + 2 x ) e que f ' ' x = e x ( x 2 + 4 x + 2 ) .

( b ) Encontre o domínio de f ( x ) .

( c ) Encontre os interceptos de f ( x ) com os eixos coordenados.

( d ) Analise a simetria de f ( x ) .

( e ) Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de f .

( f ) Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f , e os seus pontos de máximo/mínimo.

( g ) Determine os intervalos onde f é côncava para cima/baixo e os seus pontos de inflexão.

( h ) Esboce o gráfico de f usando as informações obtidas nos itens anteriores.

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Considere a seguinte função

f x = x 2 + 1 x 2 - 4

a Encontre o domínio de f , os pontos de interseção do gráfico de f com os eixos e analise a simetria de f .

b