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Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dada.

x ¨ + 2 x ˙ + 2 x = 0 ,             x 0 = 0           e           x ˙ 0 = 1

Passo 1

O exercício pede para reolver a EDO homogênea de segunda ordem

x ' ' + 2 x ' + 2 x = 0

Como os coeficientes são constantes, caímos na equação característica

p 2 + 2 p + 2 = 0

As soluções dessa equação são

p = - 2 ± 4 - 8 2 = - 2 ± 2 i   2 = - 1 ± i

Quando a raízes são complexas do tipo p = α ± i   β :

x t = e α t A cos ⁡ β t + B   s e n   β t

Portanto, com α = - 1 e β = 1 :

x t = e - t   A cos ⁡ t + B   s e n   t

Passo 2

Como x 0 = 0 , temos que

0 = A cos ⁡ 0 + B   s e n   0 ⇒ A = 0

Portanto,

x t = B e - t   s e n   t

Logo,

x ˙ t = - B e - t s e n   t + B e - t cos ⁡ t

Como x ˙ 0 = 1 :

1 = - B   s e n   0 + B cos ⁡ 0 ⇒ B = 1

Portanto,

x t = e - t   s e n   t

Um esboço do gráfico é dado a seguir:

Resposta

x t = e - t   s e n   t

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