Enunciado

Encontre o vetor, não com determinantes, mas usando propriedades do produto vetorial.

j - k × ( k - i )

Passo 1

Não poderemos usar determinante para calcular o produto vetorial, mas temos algumas propriedades que vão nos ajudar a calcular, vamos usar que a × b = a b sin ⁡ α , a + b × c + d = a × c + b × c + a × d + b × d e que qualquer vetor a × b é ortogonal tanto à a quanto à b , temos que a × b resulta em um vetor com direção perpendicular ao plano que passa por a e b . O sentido desse vetor é determinado pela regra da mão direita: com os dedos da mão direita curvados girando no sentido de a para b , seu polegar estará apontando na direção e sentido de a × b .

Vamos abordar a expressão em duas etapas, primeiro vamos reescrever a expressão:

j - k × k - i = j × k + - k × k + j × - i + - k × - i

Passo 2

Agora vamos usar a definição para o cálculo do módulo do produto vetorial

j × k = j k sin ⁡ 90 ° = 1 - k × k = - k k sin ⁡ 180 ° = 0 j × - i = j - i sin ⁡ 90 ° = 1 - k × - i = - k - i sin ⁡ 90 ° = 1

Usando a regra da mão direita explicada acima temos que a partir dos vetores j e k temos que o vetor j × k está na direção e sentido do vetor i , a partir dos vetores - k e k temos que o vetor ( - k ) × k é 0 (nulo), a partir dos vetores j e - i temos que o vetor j × - i está na direção e sentido do vetor k e a partir dos vetores - k e - i temos que o vetor ( - k ) × ( - i ) está na direção e sentido do vetor j .

Passo 3

j - k × k - i = j × k + - k × k + j × - i + - k × - i

= i + j + k

Resposta

= i + j + k

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