Enunciado

No exercício a seguir é dado um dos valores de s e n   x , cos ⁡ x e t g   x . Determine os outros dois valores quando x está no intervalo especificado.

s e n   x =   - 1 2 ,   x ∈ [   π ,   3 π 2   ]

Passo 1

Então galera, para resolvermos esse exercício usaremos (com toda certeza) uma das seguintes relações trigonométricas, assim como é discutido na seção 3 do George:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

1 + t g 2 x = s e c ² x

O por quê de usarmos uma dessas equações para resolver a questão? Como o exercício já nos dá o valor de uma das funções, conseguimos facilmente descobrir o valor de outra função. Uma vez descoberto o valor de duas funções, é possível encontrarmos o valor da terceira utilizando uma das relações:

t g   x =   s e n   x cos ⁡ x

c o t g   x =   1 t g   x

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

c o s s e c   x =   1 s e n   x

Passo 2

Como a questão nos deu o valor de s e n   x , então podemos usar a relação:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

Substituindo o valor dado pela questão, temos:

1 2 2 + c o s 2 x = 1

cos ⁡ x =   3 2

Mas como o intervalo está no 3° quadrante e o cosseno é negativo nesse quadrante, então:

∴ cos ⁡ x =   - 3 2

Passo 3

Agora que temos o valor de s e n   x e cos ⁡ x , podemos utilizar a relação:

t g   x =   s e n   x cos ⁡ x

Substituindo os valores que temos:

t g   x =   - 1 2 - 3 2

∴ t g   x =   3 3

Resposta

cos ⁡ x =   - 3 2

t g   x =   3 3

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