Enunciado

Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.

y = x 2 ln ⁡ x 4

Passo 1

Ao derivar temos que tomar muito cuidado para ver se não tem uma função dentro da outra (função composta). Se tiver precisamos usar a regra da cadeia!

Nesse exercício, além da função composta existe um produto, então vamos ter que usar a regra do produto também.

Passo 2

Aqui temos uma composta entre a função h x = x 4 e w x = x 2 ln ⁡ x . Logo, pela regra da cadeia para y = h ( w x ) temos que

y ' = h ' w x ⋅ w ' ( x )

Passo 3

Agora precisamos determinar h ' e w ' . A primeira é uma derivada clássica

h ' x = 4 x 3

Agora w ' precisamos usar a regra do produto

Passo 4

No nosso caso temos uma função g x = x 2 e f x = ln ⁡ x e a função é w = g ( x ) f ( x ) . Então vamos derivar usando a regra do produto

w ' = g ' x f x + g x f ' x

Passo 5

Lembrando das derivadas clássicas

f ' x = 1 x

g ' x = 2 x

Temos então pela expressão acima que

w ' = 2 x ln ⁡ x + x 2 1 x = 2 x ln ⁡ x + x

Passo 6

Juntando tudo temos que

y ' = h ' w x ⋅ w ' x = 4 x 2 ln ⁡ x 3 ⋅ w ' x = 4 x 2 ln ⁡ x 3 ( 2 x ln ⁡ x + x )

Resposta

y ' = 4 x 2 ln ⁡ x 3 ( 2 x ln ⁡ x + x )

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