Enunciado

Nos exercícios 1-34, calcule o limite, se existir.

10. lim x → 0 + ⁡ 1 s e n   x - 1 x

Passo 1

Então pessoal, se aplicarmos o limite direto teremos uma indeterminação, uma vez que não se pode dividir algo por 0 ! Para resolvermos esse limite aí, podemos utilizar a regra de L’Hôspital, isto é, derivar a o numerador e o denominador da fração até chegarmos em um limite de fato. Antes disso, vamos escrever esse limite de outra forma, saca só:

  lim x → 0 + ⁡ x - s e n   x s e n   x . x

Passo 2

Agora que temos um limite melhor reescrito e sabemos a regra que temos que utilizar, vamos aplica-la! Derivando, teremos:

lim x → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ x cos ⁡ x . x + ( s e n   x )

Se aplicarmos o limite ainda dá indeterminação! Sendo assim, como não chegamos em um valor ainda, vamos derivar novamente, se liga:

lim x → 0 + ⁡ s e n   x - s e n   x . x + cos ⁡ x + cos ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ s e n   x - s e n   x . x + 2 cos ⁡ x

Aplicando o limite, teremos:

lim x → 0 + ⁡ s e n   x - s e n   x . x + 2 cos ⁡ x = 0

∴ lim x → 0 + ⁡ 1 s e n   x - 1 x = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 s e n   x - 1 x = 0

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