Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 18, determine se a função é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função.

18 .   f x = 1 2 x - 4

Passo 1

Primeiro vamos entender o que é uma função biunívoca (ou injetora). Uma função dessa forma tem a característica de que cada componente do seu domínio só tem um correspondente em sua imagem. O diagrama a seguir demonstra essa característica.

Onde A é o domínio da função e B é a imagem dessa função, pode – se reparar que cada membro do domínio corresponde a um único membro da imagem.

Passo 2

Agora vamos avaliar a função que nos foi dada.

f x = 1 2 x - 4

Para fazer isso, vamos usar o teorema 7.1.2 do capítulo 7, seção 2, que diz que se uma função for crescente ou decrescente em todo seu domínio ou intervalo, ela é biunívoca.

Para saber se a função é crescente ou decrescente vamos derivar a função e ver se ela é negativa no seu domínio ou positiva.

Passo 3

Vamos derivar a função.

f x = 1 2 x - 4

f ' x = 1 ' ⋅ 2 x - 4 - 1 ⋅ ( 2 x - 4 ) ' 2 x - 4 2

                        = 1 ⋅ 2 x - 4 - 1 ⋅ ( 2 ) 2 x - 4 2 = - 2 2 x - 4 2

Como a função f ' x < 0 para todo x ≠ 2 podemos concluir que f ( x ) é decrescente.

Assim, a função f ( x ) não assume os mesmos valores na imagem com o mesmo elemento do domínio, logo ela é biunívoca.

Passo 4

Agora vamos ver como ficaria o gráfico dessa função.

Através do gráfico também é possível ver o que constatamos no passo 3.

Resposta

A função f ( x ) é biunívoca.

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