Enunciado

Nos exercícios de 31 a 34, faça o seguinte: (a) encontre d x e d y em termos de t e d t ; (b) use os resultados da parte (a) para encontrar d y d x ; (c) expresse y em termos de x , eliminando t , e então calcule d y d x usando os teoremas de derivação.

x = 1 - cos ⁡ t , y = 2 + sin ⁡ t , 0 < t < π

Item (a)

Passo 1

Nesse item, basta derivar os dois membros da equação normalmente. Vale lembrar que a derivada de x é o próprio d x (analogamente para y ) e que a derivada das funções trigonométricas são obtidas da seguinte forma:

p t = sin ⁡ t

p ' t = cos ⁡ t

Além disso,

q t = cos ⁡ t

q ' ( t ) = - sin ⁡ t

Resposta

Assim, naturalmente, temos:

d x = sin ⁡ t d t

d y = cos ⁡ t d t

Item(b)

Passo 1

É importante perceber que, nesse caso, a relação d y d x é obtida, simplesmente, pela divisão das duas equações obtidas no item (a). Perceba que, no intervalo dado, sin ⁡ t ≠ 0 , logo, podemos fazer essa divisão normalmente.

d y d x = cos ⁡ t d t sin ⁡ t d t

d y d x = cot ⁡ t

Resposta

d y d x = cot ⁡ t

Item (c)

Passo 1

Nesse item, a primeira coisa é expressar y em função de x , tal como o próprio enunciado pede. Para isso, é necessário sumir com o t das equações. Para isso, é necessário lembrar da relação fundamental da trigonometria, ideia também já indicada no enunciado.

sin ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 = 1  

Assim, isolando sin ⁡ t e cos ⁡ t nas equações e substituindo na relação fundamental supracitada,

y - 2 2 + 1 - x 2 = 1

Passo 2

Agora que já temos a equação, basta derivá-la implicitamente e, depois disso, isolar a função d y d x .

Derivada implícita da equação,

2 y - 2 d y + 2 ( 1 - x ) d x = 0

Isolando a função d y d x ,

d y d x = x - 1 y - 2

Resposta

d y d x = x - 1 y - 2

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