Enunciado

Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por f em x = a .

29. f x = e x ,   a = 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a :

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

Para encontrar a série de Taylor para f x = e x , gerada no ponto a = 2 , podemos encontrar as primeiras derivadas dele. O processo de diferenciação é mostrado abaixo:

f x = e x → f 2 = e 2

f ' x = e x → f 2 = e 2

f n x = e x → f n 2 = e 2

Todas as derivadas de ordem superior existem e são diferentes de zero e pode-se mostrar que existe uma fórmula geral para essas derivadas de ordem superior porque é e x , quando diferenciado, também é e x . Assim, o polinômio de Taylor (Maclaurin) para isso é:

∑ n = 0 ∞ f n 2 n ! x - 2 n = f 2 + f ' 2 1 ! x - 2 1 + f ' ' 2 2 ! x - 2 2 + f ' ' ' 2 3 ! x - 2 3 + f 4 2 4 ! x - 2 4 + …

Passo 2

Como f n 2 = e 2 , podemos substituir na série acima

∑ n = 0 ∞ e 2 n ! x - 2 n = e 2 + e 2 1 x - 2 1 + e 2 2 x - 2 2 + e 2 6 x - 2 3 + e 2 24 x - 2 4 + …

Portanto,

e x = ∑ n = 0 ∞ e 2 n ! x - 2 n = e 2 + e 2 1 x - 2 1 + e 2 2 x - 2 2 + e 2 6 x - 2 3 + e 2 24 x - 2 4 + …

Resposta

e x = ∑ n = 0 ∞ e 2 n ! x - 2 n = e 2 + e 2 1 x - 2 1 + e 2 2 x - 2 2 + e 2 6 x - 2 3 + e 2 24 x - 2 4 + …

Exercícios de Livros Relacionados

O polinômio de Taylor de ordem 2 gerado por uma função duas vezes derivável f ( x ) em x = a é chamado de aproximação quadrática de f em x = a . Nos Exercícios 41-46, encontre (a) a linearização (poli
Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.20. senh ⁡ x = e x - e - x 2
Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.13. 1 1 + x
Utilize a série de Taylor gerada por e x em x = a para mostrar que e x = e a 1 + x - a + x - a 2 2 ! + …
Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.16. sen ⁡ x 2