Enunciado

Nos Exercícios 19 e 20, encontre o trabalho realizado por F para

mover uma partícula uma vez em sentido anti-horário ao redor da

curva dada

F = (4x – 2y)i + (2x – 4y)j

C: A circunferência (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos circulação em sentido anti-horário de F → = M i → + N j → ao redor do caminho C como sendo ∮   C F → ⋅ T → d s = ∮   C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 5, da página 398).O trabalho realizado por F → para mover uma partícula uma vez em sentido anti-horário ao redor da curva C é o resultado dessa integral.

Passo 2

Sendo o campo vetorial F → = ( 4 x - 2 y ) i → + ( 2 x - 4 y ) j → atuando sobre uma região limitada pela circunferência C : ( x - 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 = 4 .Inicialmente definiremos M e N : M = 4 x - 2 y e N = 2 x - 4 y Suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ y = - 2 e ∂ N ∂ x = 2

Passo 3

Para calcularmos o trabalho no sentido anti-horário substituimos ∂ M ∂ y = - 2 e ∂ N ∂ x = 2 e m ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

W = ∬ R     [ 2 - ( - 2 ) ] d x d y = 4 ∬ R     d x d y   = 4 ∫ 0 2 π     ∫ 0 2     r d r d θ = 4 ∫ 0 2 π     r 2 2 0 2 d θ   = 4 ∫ 0 2 π     2 d θ = 4 [ 2 θ ] 0 2 π = 4 ( π ⋅ 4 ) = 16 π

Resposta

Assim, o trabalho realizado por F → para mover uma partícula uma vez em sentido anti-horário ao redor da curva C é 16 π .

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