Lista de Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Use o teorema de Green para encontrar a circulação no sentido anti-horário para o campo F e a curva C :

F = x + e x sin ⁡ y i + x + e x cos ⁡ y j

C : O laço do lado direito da lemniscata r 2 = cos ⁡ 2 θ .

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Use a fórmula do teorema de Green para encontrar a área da região limitada pela curva:

C : o   a s t r o i d e   r t = c o s 3 t   i + s e n 3 t   j

0 ≤ t ≤ 2 π

(Sugestão: Use F → = - y 2 , x 2 )

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Calcule a integral de linha do campo vetorial F x , y = y 3 3 x + e cos ⁡ x ,   sen ⁡ y 3 + 1 ao longo da curva C , sendo C o bordo da região Ω definida pela interseção das seguinte regiões 3 x 2 ≥ π y , 3 x 2 ≤ 2 π y , y 2 ≥ 2 x e y 2 ≤ 4 x . Além disso, assuma que C é orientada no sentido horário.

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Use o Teorema de Green para calcular a área da região plana A do primeiro quadrante delimitada por y = x ,   y = 1 x e y = x 9 .

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Calcule

∮ C   x 2 - y 2 2 d x + x 2 2 + y 4 d y

onde C é a fronteira da região D definida por

D = x , y ∈ R 2 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0

orientada no sentido anti-horário.

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Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ∮ C e x + y 2 d x + e y + x 2 d y , onde C é a fronteira da região entre y = x 2 e y = x , percorrida no sentido anti-horário.

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Seja F → x , y = x y 2 - x 4 y i → + x 2 y - 2 x 3 3 + 2 x + x y 2 j → . Mostre que não existe curva fechada, simples, lisa por partes γ : a , b → R 2 tal que ∫ γ   F → d r → = 0 .

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Se uma circunferência C de raio 1 rola ao longo do exterior da circunferência x 2 + y 2 = 16 , um ponto fixo P de C descreve uma curva chamada epiciclóide. Uma parametrização da epiciclóide C é dada por r t = 5 cos ⁡ t - cos ⁡ 5 t ,   5   s e n   t - s e n   5 t . Nessa parametrização C é uma curva fechada para t ∈ [ 0,2 π ] . Calcule a área da região limitada pela epiciclóide C .

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Determine o trabalho W = ∫ C   F . d r realizado pelo campo de força

F x , y = x   i + x 3 + 3 x y 2 j  

Em uma partícula que inicialmente está no ponto ( - 2,0 ) , que se move ao longo do eixo x para ( 2,0 ) , e então ao longo da semicircunferência y = 4 - x 2 até o ponto inicial.

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Determine o trabalho W = ∫ C   F . d r realizado pelo campo de força

F x , y = x 2 x - y   i + x y 2   j

Em uma partícula que se move da origem ao longo do eixo x para ( 1,0 ) , em seguida ao longo de um segmento de arco de circunferência x 2 + y 2 = 1 até ( 0,1 ) , e então de volta à origem ao longo do eixo y .

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Calcule o trabalho do campo vetorial F x , y = - y 3 , x 3 + y 4 e arctg ( y 8 + 1 ) ao longo da curva C definida em coordenadas polares por C : r 4 = sen 2 ⁡ θ onde θ ∈ [ 0 ,   π ] , r ≥ 0 e orientada com θ crescente.

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Calcule a integral de linha do campo vetorial F x , y = y 3 3 x + e cos ⁡ x ,   sen ⁡ y 3 + 1 ao longo da curva C , sendo C o bordo da região Ω definida pela interseção das seguinte regiões 3 x 2 ≥ π y , 3 x 2 ≤ 2 π y , y 2 ≥ 2 x e y 2 ≤ 4 x . Além disso, assumimos que C é orientada no sentido horário.

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16) Calcule as seguintes integrais:

b)

∮ C   - x y 1 + x d x + ln ⁡ 1 + x d y

onde C é formada por y = 0 , x + 2 y = 4 e x = 0 .

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Seja F → = y + e x , 2 x + e - y .

  1. Use o Teorema de Green para calcular

∮ C F   d r

onde C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y = x 2   e   x = y 2 .

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Calcule a integral:

∮ C x y   d y - y 2   d x

Onde C é o quadrado cortado no primeiro quadrante pelas retas x = 1 e y = 1

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Sejam P x , y ,   Q x , y , ∂ P ∂ y   e   ∂ Q ∂ x funções uniformes e contínuas em um domínio conexo limitado por uma curva fechada C . Então, pelo Teorema de Green:

∮ P d x + Q d y = ∬ R ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y

Calcule a integral de linha:

∮ x - 2 y d x + 2 x - 3 y d y

Sobre a circunferência unitária x = c o s ⁡ ( t ) , y = sen ⁡ ( t ) ; 0 ≤ t ≤ π utilizando o Teorema de Green.

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Use o Teorema de Green para calcular a área da região limitada pela curva plana fechada determinada pelo seguinte par de curvas: y = x 3 - x   e y = x 2 - 1 .

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Verifique o Teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado, para

F → x , y = ( 4 x - 2 y , 2 x + 6 y )

Onde D é a região interior à elipse x 2 4 + y 2 = 1 .

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Considere o campo vetorial dado por F → x , y = ∇ f x , y - y , - x , onde f x , y = x 2 e x y cos ⁡ y 2 . Calcule ∫ C F → d r → , onde C é a elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 36 , percorrida no sentido anti-horário.

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20) Seja φ   : R 2 → R de classe C 2 , tal que ∇ 2 φ = - 3 x . Considere o campo F → = ∂ φ ∂ y ,   - ∂ φ ∂ x . Calcule ∮ C   F → ⋅ d r → ,   onde C é a curva formada por y = x 3 e y = x .

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Seja a integral de linha I = ∫ γ F → ⋅ d r → , onde

F → x , y = 2 x y 2 + ln ⁡ 16 + x 4 4 x 4 i → + - x 3 y + arctan ⁡ 2 y 4 32 + y 4 j →

e γ é a fronteira do conjunto T = x , y ∈ R 2 : 2 ≤ x ≤ 3 ,   x - 2 ≤ y ≤ 2 x ,   percorrida no sentido horário.

O valor de I é:

Escolha uma:

a) 55000 120

b) 44917 120

c) 55510 120

d) 45019 120

e) 35500 120

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Use o Teorema de Green para calcular

∫ C x y d x + x 2 y 3   d y

Onde C é o triângulo com vértices 0,0 , 1,0 e 1,2 , orientado no sentido anti-horário.

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Seja D a região delimitada pelas curvas

E 1 = x ,   y ∈ R 2 |   x 2 + y 2 = π 2 ,   y ≤ 0

E

ℇ 2 = x ,   y ∈ R 2 |   y = cos ⁡ x + 1 ,   - π ≤ x ≤ π .

  1. Faça um esboço da região D .
  2. Seja

G x ,   y = - y x - 4 2 + y 2 + e x ,   x - 4 x - 4 2 + y 2 + 2 x + e y ,   x ,   y ≠ 4 ,   0 ,

e seja E a união de E 1 e E 2 , orientada negativamente. Calcule

∫ E   G d r

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Considere o campo plano

F x ,   y = - y x 2 + y 2 + y , x x 2 + y 2 + e y 2 ,     x ,   y ≠ 0 ,   0 .

e os caminhos:

C =   quadrado de vértices 2 ,   0 ,   0 ,   2 ,   - 2 ,   0 e 0 ,   - 2 com orientação anti-horária;

D =   circunferência unitária com orientação horaria.

Calcule

∫ C   F d r + ∫ D   F d r

Sugestão: use o Teorema de Green (generalizado).

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Use o teorema de Green para determinar o trabalho W = ∫ C   F ∙ d r realizado pelo campo de força

F x ,   y = x i + x 3 + 3 x y 2 j ,

Em uma partícula que inicialmente está no ponto - 2 ,   0 , se move ao longo do eixo x para 2 ,   0 e então se move ao longo da semicircunferência y = 4 - x 2 até o ponto inicial.

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16) Calcule as seguintes integrais:

d)

∮ C   x - 1 e y d x + 2 x + e y ln ⁡ x   d y

onde C é a fronteira da região limitada por x = y 4 + 1 e x = 2 .

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15) Calcule as integrais de linha diretamente e também e também pelo Teorema de Green:

a)

∫ C   3 x - y d x + x + 5 y d y

onde C é a circunferência unitária x = cos ⁡ t , y = sin ⁡ t , com 0 ≤ t ≤ 2 π .

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16) Calcule as seguintes integrais:

e)

∮ C   y - x + arctan ⁡ x d x + 2 x - y + 1 + y 2   d y

onde C é a fronteira da região limitada pelas curvas y = x + 2 e y = x 2 .

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16) Calcule as seguintes integrais:

a)

∮ C   2 y + 1 + x 5 3 d x + 5 x - e y 2 d y

onde C é a circunferência x 2 + y 2 = 4 .

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16) Calcule as seguintes integrais:

c)

∮ C   y 2 2 d x + 2 x y   d y

onde C é a fronteira da região limitada por y = x , y = - x e x 2 + y 2 = 4 , com y ≥ 0 .

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15) Calcule as integrais de linha diretamente e também e também pelo Teorema de Green:

b)

∫ C   x y - y 2 d x + x y d y

onde C é o caminho fechado formado por y = 0 , x = 1 e y = x , orientado positivamente.

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Questão 4:

A curva de equação x 4 = x 2 - y 2 é chamada de Lemniscata de Gerono. Seu gráfico está esboçado abaixo.

Uma parametrização para a parte da Lemniscata de Gerono que circunda a região colorida na figura acima é

r → t = sin ⁡ t , sin ⁡ t cos ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ π

  1. A parametrização acima percorre a curva no sentido horário ou anti-horário? Justifique.
  2. Seja D uma região plana cuja fronteira é uma curva fechada e simples C . Mostre que a área de D pode ser calculada pela fórmula
  3. A D = ∫ C   x d y .

  4. Calcule a área da parte colorida na figura acima.

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Questão 3) Calcule:

  1. A integral

∮ C   y 4 d x + 2 x y 3 d y

onde   C é a elipse x 2 + 2 y 2 = 2 .

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Questão 5: Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

∫ C   y + e x d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y

Onde C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y = x 2 e x = y 2 .

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Questão 4: Use o teorema de Green para calcular a integral de linha da função vetorial

∫ C   e x 3 + y 2 d x + x + y 5 d y

onde C é o bordo da região delimitada por x = y 2 + 1 e x = 5 , orientado no sentido anti-horário.

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Calcule, usando o Teorema de Green, a seguinte integral de linha

∫ C y + e x d x   + ( 2 x + cos ⁡ y 2 )   d y ,

onde a curva C é a fronteira da região delimitada pelas parábolas y = x 2 e   x = y 2 .

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Calcule a integral

∫ C 2 y 2 + cos ⁡ x 3   d x +   5 x y + e y   d y

Sendo a curva C a fronteira orientada positivamente da região semianular R contida no semiplano superior entre as circunferências x 2 + y 2 = 4   e   x 2 + y 2 = 16 .

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Seja F → x , y = x , x 3 + 3 x y 2 um campo de força sobre uma partícula. A partícula inicialmente no ponto (-2,0) se move ao longo do eixo x até (2,0) e então ao longo da semicircunferência y = 4 - x 2   até o ponto inicial.

  1. Utilize o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força F → .
  2. A integral

∫ C F →   .   d r

é independendo do caminho? Justfique.

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Aplique o Teorema de Green para calcular a integral:

∮ C y 2 d x + x 2 d y

Onde a curva C é o triângulo limitado por x = 0 , x + y = 1 e y = 0 .

  1. 0
  2. 2
  3. 4
  4. 3
  5. 1

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Seja C a fronteira do retângulo R = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 1 , percorrida uma única vez no sentido anti-horário. A integral

∫ C ( 6 x 5 y + l n ⁡ ( 1 +   1 + x 2 ) )   d x + x 6 + x 2 + y 2 + e y 1 + s e n 2 y d y

é igual a:

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Sejam D = { ( x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 < 1 } e f : D → R uma função não nula de classe C 1 . Considere as seguintes afirmações:

  1. Se ∂ f ∂ x x , y = ∂ f ∂ y x , y , para todo x , y ∈ D ,   então ∫ c f x , y d s = 0 para toda circunferência C ⊂ D .
  2. Se f x , y ≤ 10 para todo x , y ∈ D , então para toda curcunferência C ⊂ D   vale que ∫ C f x , y d s ≤ 10 π