Enunciado

Existe uma função f tal que f (0) = - 1 , f (2) = 4 e f ' ( x ) <= 2 para todo x ?

Passo 1

Eaeee, belezinha? Bom... a questão nos pergunta se existe uma função f tal que f (0) = - 1 , f (2) = 4 e f ' ( x ) <= 2 para todo x .

Para isso, devemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário.

Esse teorema afirma que, se uma função contínua f é definida em um intervalo fechado [ a , b ] , então para qualquer valor y entre f ( a ) e f ( b ) (inclusive), existe pelo menos um valor c no intervalo aberto ( a , b ) tal que f ( c ) = y .

Agora vamos aplicar!!

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Médio, existe um número 0 < c < 2 tal que:

f^' (c) = (f (2) - f (0))/(2 - 0) = (4 - (- 1))/(2) = (5)/(2)

Como f^' (x) <= 2 para qualquer x , essa função não pode existir, pois (5)/(2) > 2 .

Resposta

Não existe.

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