Lista de Exercícios Resolvidos de Teorema de Rolle e Valor Médio

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A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique sua resposta.

f x = x 4 / 5 ,     [ 0,1 ]

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A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique sua resposta.

f x = sen ⁡ x x , - π ≤ x < 0 0 , x = 0

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A função:

f x =   x ,     0 ≤ x < 1 0 ,                   x = 1 é zero quando x = 0 e x = 1 e derivável em   ( 0,1 ) , mas sua derivada em ( 0,1 ) nunca é zero. Explique por quê. O teorema de Rolle não diz que a derivada deveria ser zero em algum lugar em ( 0,1 ) ? Justifique sua resposta.

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( b ) Mostre que, se a ≠ 0 e b 2 - 3 a c < 0 , então a equação a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 tem exatamente uma raiz real.

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( c ) Seja f   :   R → R derivável tal que f 1 = 8 e f ' x ≥ 3 para todo x   ∈ ( 1,5 ) . Qual o menor valor possível para f ( 5 ) ? Justifique.

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12) Seja P uma função polinomial não constante.

a) Prove que, entre dois zeros consecutivos de P ' (isto é, dois valores de x que anulam a derivada e tal que entre eles não existe outro valor que anula a derivada), existe no máximo uma raiz de P .

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Nos exercícios de 1 a 6 , verifique se o teorema de Rolle pode ser aplicado à f nos intervalos indicados

2 . f x = x 2 - 2 x ,         x ∈ - 1 ,   3

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Sejam a , b e c números reais tais que:

a 3 + b 2 + c = 0

Mostre que o polinômio p x = a x 2 + b x + c possui ao menos uma raíz no intervalo 0,1 .

Dica: Use o polinômio:

f x = a 3 x 3 + b 2 x 2 + c x

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Mostre que g x = 8 x 3 + 30 x 2 + 24 x + 10 admite uma única raiz no intervalo ( - 3 , - 2 ) .

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Seja f : - 1,2 ⟶ R contínua em - 1,2 , diferenciável em ( - 1 ,   2 ) , com f - 1 = - 1 e f 2 = 5 . Prove que existe um ponto no gráfico de f em que a reta tangente é paralela à reta y = 2 x .

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Mostre que g x = 8 x 3 + 30 x 2 + 24 x + 10 admite uma única raiz no intervalo ( - 3 , - 2 ) .

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Seja f : - 1,2 ⟶ R contínua em - 1,2 , diferenciável em ( - 1 ,   2 ) , com f - 1 = - 1 e f 2 = 5 . Prove que existe um ponto no gráfico de f em que a reta tangente é paralela à reta y = 2 x .

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ME03) Seja g uma função contínua no intervalo - 1,2 e derivável em ] - 1,2 [ , que assume os valores g - 1 = 0 , g 0 = 4 , g 1 = 2 e g 2 = 2 . Considere as afirmações:

  1. A equação g x = 3 tem pelo menos uma solução no intervalo - 1,0
  2. A equação g x = 2 tem exatamente uma solução no intervalo - 1,0
  3. A função g admite um ponto crítico no intervalo ] - 1,2 [

Pode-se dizer com certeza que:

  1. Todas as afirmações são falsas
  2. Somente as afirmações I e I I I são verdadeiras
  3. Somente as afirmações I e I I são verdadeiras
  4. Todas as afirmações são verdadeiras
  5. Somente a afirmação I é verdadeira

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ME01) Sejam g : I R → I R dada por g x = x 3 - 3 x e c ∈ I R cuja existência é garantida pelo Teorema do Valor Médio para g no intervalo - 4,2 . O valor de c é:

  1. - 1
  2. 0
  3. 2
  4. 1
  5. - 2

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ME01) Considere f : I R → I R uma função derivável com f 1 = 4 e f 3 = 8 , e considere as afirmações abaixo:

  1. f possui pelo menos uma raíz
  2. Para algum c ∈ 1,3 , vale que f c = 5
  3. Para algum c ∈ 1,3 , vale que f ' c = 2

Escolha a alternativa correta:

  1. Somente A é verdadeira
  2. Somente B é verdadeira
  3. Somente C é verdadeira
  4. A e B são verdadeiras
  5. B e C são verdadeiras
  6. Todas são verdadeiras
  7. Todas são falsas

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Se e 5 2 < a < b < e 3 então:

ln ⁡ b b - ln ⁡ a a b - a

  1. ] - 1 2 e 3 , - 1 e 4 [
  2. ] - 1 e 4 , - 3 2 e 5 [
  3. ] - 3 2 e 5 , - 2 e 6 [
  4. ] - 2 e 6 , - 3 e 8 [
  5. ] - 3 e 8 , - 4 e 10 [

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Se e 4 < a < b < e 5 então:

ln ⁡ b b - ln ⁡ a a b - a

  1. ] - 1 2 e 3 , - 1 e 4 [
  2. ] - 1 e 4 , - 3 2 e 5 [
  3. ] - 3 2 e 5 , - 2 e 6 [
  4. ] - 2 e 6 , - 3 e 8 [
  5. ] - 3 e 8 , - 4 e 10 [

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Se e 3 2 < a < b < e 2 então:

ln ⁡ b b - ln ⁡ a a b - a

  1. ] - 1 2 e 3 , - 1 e 4 [
  2. ] - 1 e 4 , - 1 2 e 5 [
  3. ] - 3 2 e 5 , - 2 e 6 [
  4. ] - 2 e 6 , - 3 e 8 [
  5. ] - 3 e 8 , - 4 e 10 [

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Se e 3 < a < b < e 4 então:

ln ⁡ b b - ln ⁡ a a b - a

  1. ] - 1 2 e 3 , - 1 e 4 [
  2. ] - 1 e 4 , - 3 2 e 5 [
  3. ] - 3 2 e 5 , - 2 e 6 [
  4. ] - 2 e 6 , - 3 e 8 [
  5. ] - 3 e 8 , - 4 e 10 [

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Se e 2 < a < b < e 5 2 então:

ln ⁡ b b - ln ⁡ a a b - a

  1. ] - 1 2 e 3 , - 1 e 4 [
  2. ] - 1 e 4 , - 3 2 e 5 [
  3. ] - 3 2 e 5 , - 2 e 6 [
  4. ] - 2 e 6 , - 3 e 8 [
  5. ] - 3 e 8 , - 4 e 10 [

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( a ) Enuncie os Teoremas de Rolle e do Valor Médio.

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Enuncie corretamente o Teorema do Valor Médio e descreva graficamente o seu significado geométrico.

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