Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 23
- Expresse o volume da cunha no primeiro octante que é cortada do cilindro pelos planos e como uma integral tripla.
- Utilize a Tabela de Integrais (nas Páginas de Refêrencia 6-10) ou sistema de computação algébrica para determinar o valor exato da integral tripla da parte (a).
Passo 1
- Para calcular o volume, vamos calcular a integral
- Calculando a integral temos
Temos que, no primeiro octante, a variação de é de até o cilindro, isolando na equação
No primeiro octante pegamos a parte positiva só, então temos .
O vai variar entre o plano e , então e por fim, o ponto máximo de é quando no cilindro e temos , no primeiro octante , levando isso em conta, a variação de , como tem como valor máximo em , sua variação é .
A integral fica então
Passo 2
Focando agora só na integral
Substituindo
Substituindo
Para voltarmos para a variável , vamos usar o triangulo
Então temos que, pela substituição e pelo triangulo , logo
Então temos que
Usando agora a pagina de referencia
E a outra integral conseguimos fazer por substituição
Substituindo ,
Então temos
Temos que
Resposta
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