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  1. Expresse o volume da cunha no primeiro octante que é cortada do cilindro y 2 + z 2 = 1 pelos planos y = x e x = 1 como uma integral tripla.
  2. Utilize a Tabela de Integrais (nas Páginas de Refêrencia 6-10) ou sistema de computação algébrica para determinar o valor exato da integral tripla da parte (a).

Passo 1

  1. Para calcular o volume, vamos calcular a integral
  2. V = ∭ E 1   d V

    Temos que, no primeiro octante, a variação de z é de 0 até o cilindro, isolando z na equação

    y 2 + z 2 = 1

    z 2 = 1 - y 2

    z = ± 1 - y 2

    No primeiro octante pegamos a parte positiva só, então temos 0 ≤ z ≤ 1 - y 2 .

    O y vai variar entre o plano y = 0 e y = x , então 0 ≤ y ≤ x e por fim, o ponto máximo de y é quando z = 0 no cilindro e temos y = ± 1 , no primeiro octante y = 1 , levando isso em conta, a variação de x , como tem como valor máximo em y = x , sua variação é 0 ≤ x ≤ 1 .

    A integral fica então

    V = ∭ E 1   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 x ∫ 0 1 - y 2 d z d y d x

    Passo 2

  3. Calculando a integral temos

∫ 0 1 ∫ 0 x ∫ 0 1 - y 2 d z d y d x = ∫ 0 1 ∫ 0 x 1 - y 2   d y d x

Focando agora só na integral

∫ 1 - y 2   d y

Substituindo

y = sen ⁡ θ

d y = cos ⁡ θ d θ

Substituindo

∫ 1 - y 2   d y = ∫ 1 - sen 2 ⁡ θ   cos ⁡ θ d θ

= ∫ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

= ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = θ 2 + sen ⁡ 2 θ 4 + C

= θ 2 + sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 + C

Para voltarmos para a variável y , vamos usar o triangulo

Então temos que, pela substituição sen ⁡ θ = y e pelo triangulo cos ⁡ θ = 1 - y   , logo

∫ 1 - y 2   d y = arcsen ⁡ y 2 + y 1 - y 2 2 + C

Então temos que

∫ 0 1 ∫ 0 x 1 - y 2   d y d x = ∫ 0 1 arcsen ⁡ x 2 + x 1 - x 2 2 d x

Usando agora a pagina de referencia

∫ arcsen ⁡ x d x = x arcsen ⁡ x + 1 - x 2 + C

E a outra integral conseguimos fazer por substituição

∫ x 1 - x 2   d x

Substituindo u = 1 - x 2 , d u = - 2 x   d x

∫ x 1 - x 2   d x = - 1 2 ∫ u   d u

= - 1 2 2 u 3 2 3 = - u 3 2 3 + C

= - 1 - x 2 3 2 3 + C

Então temos

∫ 0 1 arcsen ⁡ x 2 + x 1 - x 2 2 d x = 1 2 x arcsen ⁡ x + 1 - x 2 - 1 - x 2 3 2 3 0 1

= 1 2 arcsen ⁡ 1 - 1 - 1 3 2 3

Temos que arcsen ⁡ 1 = π / 2

= 1 2 π 2 - 1 - 1 3 = 1 2 π 2 - 2 3

= π 4 - 1 3

Resposta

  1. V = ∫ 0 1 ∫ 0 x ∫ 0 1 - y 2 d z d y d x

= π 4 - 1 3

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