Enunciado

Faça o gráfico da função e inclua o gráfico e a equação das assíntotas

y = x 2 - 1 x

Passo 1

O primeiro passo é relembrar que para encontrar assíntotas oblíquas primeiro precisamos olhar para o numerador e caso ele tenha 1 grau a mais que o grau do denominador então a f ( x ) possuirá uma assíntota obliqua.

Considerando y = f ( x ) e observando a função,

f ( x ) = x 2 - 1 x

Vemos que o polinômio de cima tem grau 2, e o grau do polinômio de baixo é 1, ou seja, o de cima tem um grau a mais que o de baixo, então f ( x ) possui assíntota oblíqua.

Passo 2

O segundo passo é dividir o polinômio de cima pelo polinômio de baixo e podemos fazer armando uma conta de dividir como aprendemos quando éramos criança

Para isso precisamos lembrar que em uma divisão de polinômios é um pouco diferente da normal, o termo que fica no quociente multiplica todos o termo do dividendo e o resultado

dessa multiplicação inverte de sinal,

Queremos cancelar o x 2 , colocamos x   no quociente, pois quando multiplicássemos ele por x     o resultado - x 2   pois inverte o sinal, e assim cancelaria o x 2 sobrando apenas o - 1 . Continuando a conta com a mesma regra.

Passo 3

O segundo passo é reescrever x 2 de acordo com o que obtemos na divisão do item 1, ou seja,

x 2 - 1 = x - 1 x

Onde h x = x é linear e k x = - 1 x é o resto

Estamos interessados em saber se quando o limite de x → ± ∞ o k ( x ) (resto) vai para zero, quando isso acontece significa que a distância entre f ( x ) e h ( x ) é quase zero. Então vamos verificar.

l i m x → ± ∞ - 1 x = 0

Como o limite deu zero, então h ( x ) é uma assíntota oblíqua para f ( x ) . E podemos reescrever f ( x ) como a soma da h x + k ( x ) , ou seja,

f x = x 2 - 1 x = x - 1 x

Resposta

f x = x 2 - 1 x = x - 1 x

h x = x é uma assíntota para f x .

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