Enunciado

Faça o gráfico da solução particular e de várias outras soluções. Que características essas soluções têm em comum?

2 y ' ' + 3 y ' + y = 1 + c o s ⁡ ( 2 x )

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

2 y ' ' + 3 y ' + y = 0

E supor uma solução do tipo:

y h x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

2 k 2 A e k x + 3 k A e k x + A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

2 k 2 + 3 k + 1 = 0

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

k = - ( 3 ) ± ( 3 ) 2 - 4.2 . 1 2.2 = - 3 ± 1 4 ∴ k 1 = - 1 2 ,   k 2 = - 1

Aqui temos duas raízes reais e distintas, então a solução complementar vai ser uma combinação linear de duas exponenciais:

y h x = c 1 e - x / 2 + c 2 e - x

Passo 3

Nesse caso temos duas soluções particulares. Vamos começar com a primeira.

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G 1 x é G 1 x = 1 , e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma constante:

y p 1 x = A

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função y p , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

y p 1 ' x = 0

y p 1 ' ' x = 0

Resgatando a equação diferencial integral temos:

2 y p ' ' + 3 y p ' + y p = 1

Agora substituindo y p 1 ,   y p ' e y p 1 ' ' na equação diferencial temos:

A = 1

E a primeira solução particular é:

y p 1 x = 1

Passo 4

A segunda solução particular vai ser dada a partir da função G 2 x é G 2 x = c o s ( 2 x ) e também não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser uma combinação de seno e cosseno:

y p 2 x = A s e n 2 x + B c o s ( 2 x )

As derivadas vão ser:

y p ' x = 2 A c o s 2 x - 2 B s e n ( 2 x )

y p ' ' x = - 4 A s e n 2 x - 4 B c o s ( 2 x )

Resgatando a equação diferencial integral temos:

2 y p ' ' + 3 y p ' + y p = c o s ( 2 x )

Agora substituindo y p ,   y p '   e y p ' ' na equação diferencial temos:

2 - 4 A s e n 2 x - 4 B c o s 2 x + 3 - 2 A c o s 2 x + 2 B s e n 2 x + A s e n 2 x + B c o s ( 2 x ) = c o s ( 2 x )

Reorganizando os termos temos:

s e n ( 2 x ) - 8 A - 6 B + A + c o s ⁡ ( 2 x ) ( + 6 A - 8 B + B ) = c o s ( 2 x )

Igualando os coeficientes dos dois lados ficamos com o seguinte sistema:

- 7 A - 6 B = 0 6 A - 7 B = 1

Isolando A da primeira equação vamos ter:

A = - 6 B / 7

E substituindo na segunda temos o valor de B :

6 - 6 B 7 - 7 B = 1 ∴ B = - 7 / 85

Agora substituindo na expressão para A :

A = - 6 7 - 7 85 ∴       A = 6 85

E a solução particular é:

y p 2 x = - 7 85 c o s 2 x + 6 85 s e n ( 2 x )

Passo 5

Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo 2 temos a solução y h e dos passos 3 e 4 temos y p . Vai lá ao passo 1 e pega a solução geral:

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Substituindo os resultados teremos:

y x = c 1 e - x / 2 + c 2 e - x + 1 - 7 85 c o s 2 x + 6 85 s e n ( 2 x )

Agora vamos ver um gráfico de várias soluções, mudando os coeficientes:

No limite quando x → ∞ , todas as soluções tentem à solução particular.

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = c 1 e - x / 2 + c 2 e - x + 1 - 7 85 c o s 2 x + 6 85 s e n ( 2 x )

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