Enunciado

Faça o gráfico das três funções y = x a , y = a x e y = log a ⁡ x juntos na mesma tela para a = 2 ,   10   e 20 . Para valores maiores de x , quais dessas funções possuem os maiores valores e quais possuem os menores valores?

Passo 1

Esta é uma questão que necessita de recursos tecnológicos. Será necessário que utilizemos softwares para esboçar 3 gráficos. Cada um desses gráficos será para um valor diferente de a . Além disto, devemos plotar as três curvas em cada um deles. Obtido todas essas curvas, precisamos observar o que acontece com a imagem de cada uma dessas funções quando x cresce. Isto é, precisamos montar observar qual função possui o maior e qual possui o menor valor da imagem.

Passo 2

Vamos começar por esboçar os gráficos das funções para a = 2 . Temos então:

Como pode ser observado, a função y = a x é maior para maiores valores de x . Já a função y = log a ⁡ x é a que possui menores valores.

Passo 3

Vejamos o que acontece agora para o valor de a = 10 . Temos então:

De cara, percebemos que a função y = log a ⁡ x é a que possui menores valores à medida que x cresce. A grande dúvida é qual possui o maior valor. A partir do gráfico esboçado acima, isto não fica claro. Portanto, precisaremos mudar a escala para melhorar a visualização disto. Vejamos abaixo qual possui o maior valor.

O fato da função y = x 10 estar mais à esquerda do que y = 10 x significa que ela precisa de um menor valor de x para atingir o mesmo valor de f ( x ) . Em outras palavras, isto quer dizer que, à medida em que x cresce, a função y = x 10 é a que mais cresce!

Passo 4

Para os gráficos das funções quando a = 20 , acontece o mesmo que quando a = 10 , isto é, temos que modificar a escala para conseguir visualizar o que a questão nos pede. Vejamos abaixo as curvas com diferentes escalas:

Como pode ser observado, repetiu-se o mesmo fenômeno do passo anterior. A função y = log a ⁡ x é a que assume menores valores à medida em que x cresce e aquela que assume maiores valores é a função y = x 20 .

Resposta

Para a = 2

  • y = 2 x assume maiores valores;
  • y = log 2 ⁡ x assume menores valores;
  • Para a = 10

  • y = x 10 assume maiores valores;
  • y = log 10 ⁡ x assume menores valores;
  • Para a = 2 0

  • y = x 20 assume maiores valores;
  • y = log 2 0 ⁡ x assume menores valores;
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