Fatore o polinômio dado.

b) (x^4 - 3x)^3 + x^2 + 3x - 2

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? O enunciado é bem direto e pede para a gente fatorar o polinômio

x 4 - 3 x 3 + x 2 + 3 x - 2

Para fatorar precisamos primeiro determinar os candidatos a raízes inteiras.

Os candidatos são os divisores do termo independente (aquele que não está multiplicado por x   no polinômio).

No nosso caso o termo independente é - 2 , então os candidatos serão: + 1 , - 1 ,   + 2 , - 2 .

Então vamos checar qual deles é raíz!

Passo 2

Para saber se um número é raíz de um polinômio, temos que substitui-lo na expressão e ver se é igual a zero.

Substituindo os nosso candidatos na expressão

P x = x 4 - 3 x 3 + x 2 + 3 x - 2

  • Para x = 1 : 1 4 - 3 1 3 + 1 2 + 3.1 - 2 = 0 , então x = 1 é raíz!
  • Para x = - 1 : - 1 4 - 3 - 1 3 + - 1 2 + 3 . ( - 1 ) - 2 = 0 , então x = - 1 é raíz!
  • Para x = 2 : 2 4 - 3 2 3 + 2 2 + 3.2 - 2 = 0 , então x = 2 é raíz!
  • Para x = - 2 : - 2 4 - 3 - 2 3 + - 2 2 + 3 . - 2 - 2 ≠ 0 , então x = - 2 não é raíz!

Certo! Temos três raízes conhecidas: + 1 ,   - 1   e + 2 . Mas nosso polinômio é de ordem 4 , portanto ele admite quatro raízes! Então precisamos saber qual raíz tem multiplicidade dupla.

Passo 3

Vamos aplicar o dispositivo prático de Briot-Ruffini para achar a raíz dupla. Vamos começar pela menor raíz!

Para a raiz x = - 1 , temos que nosso divisor é ( x + 1 ) .

Vamos resolver então,

Por essa divisão temos que,

x 4 - 3 x 3 + x 2 + 3 x - 2 = x 3 - 4 x 2 + 5 x - 2 x + 1

Agora vamos usar outra raiz para baixar o grau do polinômio fazendo o mesmo processo.

Para a raíz x = 2 é raiz, temos que nosso divisor é ( x - 2 ) .

Por essa divisão temos que,

x 3 - 4 x 2 + 5 x - 2 = x 2 - 2 x + 1 x - 2

Agora chegamos a um polinômio do segundo grau, que podemos fatorar da seguinte forma,

x 2 - 2 x + 1 = x - 1 2

Repara que x = + 1 é a raiz de multiplicidade 2 que estávamos procurando!

Passo 4

A forma fatorado do polinômio será o produto de cada divisor que usamos. Então temos que a forma fatorada do polinômio x 4 - 3 x 3 + x 2 + 3 x - 2 é,

x 4 - 3 x 3 + x 2 + 3 x - 2 = x - 1 2 x + 1 ( x + 2 )

Certo? Vamos pra próxima?

Resposta

x 3 + 2 x 2 - x - 2 = x - 1 x + 1 ( x + 2 )

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