Enunciado

A figura a seguir mostra um retângulo inscrito em triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa tem 2 unidades de comprimento.

  1. Expresse a coordenada y de P em função de x . (Você pode começar escrevendo uma equação para a reta AB).
  2. Expresse a área do retângulo em função de x

Passo 1

Esta questão, a princípio, pode parecer complexa. Entretanto, ela somente é trabalhosa. O seu próprio enunciado nos fornece algumas dicas para que consigamos resolve-la. Então vamos começar a destrincha-lo. Observe primeiramente que o ponto P está sobre a reta A B . Desta forma, as suas coordenadas satisfazem a equação da reta. Sendo assim, precisamos encontrar a equação da reta A B (ficou claro agora o porquê da sugestão da questão?) e para isto, precisamos determinar as coordenadas do ponto B .

Após resolvermos a letra a ) , nos sobra expressar a área do retângulo cinza. A área de todo retângulo é:

Á r e a = B a s e ⋅ A l t u r a

Como o nosso retângulo é simétrico em torno do eixo Y , o comprimento da sua base é:

B a s e = x + x = 2 x

Sendo x um número pertencente ao intervalo [ 0,1 ] . Já a altura do retângulo será o valor de y encontrado na letra a ) (faz sentido agora a ordem das perguntas?)

Passo 2

Vamos então seguir o procedimento descrito no Passo 1. Portanto, vamos descobrir qual a coordenada do ponto B = ( α , β ) . De cara, podemos afirmar que α = 0 , visto que o ponto está sobre o eixo Y . Nos falta então determinar quem é β . Para isto, vamos descobrir qual o valor dos lados dos catetos do nosso triângulo retângulo isósceles. Por ser um triângulo isósceles, os seus catetos possuem um mesmo comprimento L . Além disto, por ser retângulo, é válido o Teorema de Pitágoras. Portanto:

2 2 = L 2 + L 2

L 2 = 4 2 = 2

L = 2

É importante lembrar que, como L representa uma medida de comprimento, só é aceito valores positivos.

Passo 3

Para descobrirmos as coordenadas do ponto B , vamos utilizar o comprimento L descoberto anteriormente. Agora, precisamos calcular o valor da altura h em relação a hipotenusa do triângulo. Veja só o seguinte recorte do nosso problema:

Para descobrir quem é h , basta utilizarmos o Teorema de Pitágoras. Portanto:

2 2 = h 2 + 1 2

2 = h 2 + 1

h 2 = 1

h = 1

Assim, as coordenadas do ponto B são ( 0,1 ) .

Passo 4

Temos agora todas os dados necessários para obter os coeficientes da reta y = a x + b que passam pelos pontos A e B . Vamos substituir as coordenadas destes pontos na equação da reta e resolveremos o nosso sistema de 2 equações e 2 incógnitas. Assim temos:

0 = a + b 1 = b

Da segunda equação obtemos que b = 1 . Substituindo este valor na primeira, descobrimos que a = - 1 . Portanto, a equação da reta é:

y = - x + 1

E, a coordenada y do ponto P , o qual pertence também a reta A B , é y = - x + 1

Passo 5

Agora que obtemos o valor y da altura do retângulo em função do comprimento x , basta substitui-lo na equação da área descrita no Passo 1. Portanto, obtemos:

Á r e a ( x ) = 2 x ⋅ - x + 1 = - 2 x 2 + 2 x

Resposta

  1. y = - x + 1
  2. Á r e a x = - 2 x 2 + 2 x
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Determine a equação da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à reta dada. 5 x + y = 2 e 0,1
Determine o dominio: y = x x - 1 3
Determine o dominio: f x = x x + 2
Determine o dominio: y = x x 2 - 1
Determine o dominio: y = 5 - 2 x 2