Enunciado

A fórmula de Taylor

f x = f a + f ' a x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … + f n a n ! x - a n + f n + 1 a ( n + 1 ) ! x - a n + 1

expressa o valor de f em x em termos dos valores de f e suas derivadas em x = a . Em computações numéricas, precisamos, portanto, que a seja um ponto onde conheçamos os valores de f e suas derivadas. Precisamos também que a esteja próximo o bastante dos valores de f em que estamos interessados para que x - a n + 1 seja tão pequeno que possamos desprezar o resto.

Nos Exercícios 9-14, quais séries de Taylor você escolheria para representar a função próxima do valor dado de x ? (Pode haver mais de uma boa resposta.) Escreva os quatro primeiros termos diferentes de zero da série que você escolher.

9. cos ⁡ x   próximo de x = 1 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Consideremos f x = cos ⁡ x . Temos que encontrar os valores de f ( x ) perto do ponto 1 . O ponto mais próximo de 1 é π 3 ​ onde podemos facilmente calcular f , os valores de f e suas derivadas. Escolhemos a série de Taylor da função dada em torno de a = π 3 . A série de Taylor para a função f ( x ) no ponto a = π 3 é dada por

f x = f π 3 + f ' π 3 x - π 3 + f ' ' π 3 2 !   x - π 3 2 + f ' ' ' π 3 3 !   x - π 3 3 + …

Passo 2

Agora, nossa missão é encontrar f π 3 ,     f ' π 3 ,   f ' ' π 3 e   f ' ' ' π 3 . Diferenciando f ( x ) três vezes, obtemos que

f x = cos ⁡ x

f ' x = - sen ⁡ x

f ' ' x = - cos ⁡ x

f ' ' ' x = sen ⁡ x

Agora, fazendo a substituição de x = π / 3 , nós temos que

f π 3 = 1 2

f ' π 3 = - 3 2

f ' ' π 3 = - 1 2

f ' ' ' π 3 = 3 2

Passo 3

Portanto, do exposto acima, os primeiros quatro termos diferentes de zero da série de Taylor gerados por f no ponto x = π 3 é igual a

f x = cos ⁡ x = f π 3 + f ' π 3 x - π 3 + f ' ' π 3 2 !   x - π 3 2 + f ' ' ' π 3 3 !   x - π 3 3 + …

Substituindo os termos

f x = 1 2 - 3 2 x - π 3 - 1 2 ∙ 2 !   x - π 3 2 + 3 2 ∙ 3 !   x - π 3 3 + …

Simplificando um pouco mais as coisas

f x = 1 2 - 3 2 x - π 3 - 1 4   x - π 3 2 + 3 12   x - π 3 3 + …

Resposta

cos ⁡ x = 1 2 - 3 2 x - π 3 - 1 4   x - π 3 2 + 3 12   x - π 3 3 + …

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