Enunciado

A função g definida por

g x = x + a 3 3 - a x

É descontínua no 0. Mostre que a decontinuidade é removível e redefina g(0) de modo a removê-la.

Passo 1

Cara, essa questão pede para mostrar que a descontinuidade em 0 é removível. Para isso, precisamos calcular os limites laterais de g e verificar que são iguais!

Depois disso, para remover a descontinuidade, basta definir g(0) como o valor desses limites!

Assim, precisamos calcular lim x → 0 + ⁡ g ( x )   e lim x → 0 - ⁡ g ( x ) . Vou fazendo o limite pra 0 pela direita e você vai ver que nenhum passo vai depender de por onde nós vamos até chegar no 0, ou seja, o limite pela esquerda vai ser análogo!

Passo 2

Para resolver

lim x → 0 + ⁡ x + a 3 3 - a x

Precisamos, primeiramente, usar o produto notável a - b a 2 + a b + b 2 = a 3 - b 3 e usar a = x + a 3 3   e   b = a , para podermos tirar a raíz cúbica do numerador.

Assim, ao multiplicar por x + a 3 2 3 + a x + a 3 3 + a 2   , temos:

lim x → 0 + ⁡ x + a 3 - a 3 x ( x + a 3 2 3 + a x + a 3 3 + a 2   ) = lim x → 0 + ⁡ x x ( x + a 3 2 3 + a x + a 3 3 + a 2   )

Agora só cortar os ‘x’ e substituir depois por 0

lim x → 0 + ⁡ 1 1 ( x + a 3 2 3 + a x + a 3 3 + a 2   ) = 1 3 a 2

Como não dependeu de por onde fomos em relação ao 0, podemos então dizer que

lim x → 0 - ⁡ 1 1 ( x + a 3 2 3 + a x + a 3 3 + a 2   ) = 1 3 a 2

E assim, mostramos que a descontinuidade é removível.

Passo 3

Por fim, precisamos definir g(0) para remover a descontinuidade, e fazemos isso definindo g(0) como o valor do limite calculado no último passo!

Assim, g 0 = 1 3 a 2

Resposta

g 0 = 1 3 a 2

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