Enunciado

A função f é definida por

f x = lim n → 0 ⁡ 2 n x n 2 - n x

Faça um esboço do gráfico de f. Em que valores de x f é descontínua?

Passo 1

Caraca! Essa função foi expressa como um limite!Bem, para obtermos uma equação melhor pra essa função, precisamos descobrir o valor desse limite em termos apenas de x.

Se botarmos ‘n’ em evidência:

lim n → 0 ⁡ 2 n x n 2 - n x = lim n → 0 ⁡ 2 n x n n - x

Agora é só cortar os ‘n’ e substituir n = 0 e temos:

lim n → 0 ⁡ 2 x n - x = 2 x 0 - x = - 2 x x

Assim, nossa expressão para f é:

f x = - 2 x x

Passo 2

Ufa, temos uma expressão sem a variável ‘n’ na equação, então podemos analisar descontinuidade normalmente!Assim, a única restrição que temos é pra x = 0 , pois não existe f ( 0 )

Assim, como não existe o valor de f em 0, a função é descontínua em 0.

Viu? Nem precisamos fazer limite nenhum!

Passo 3

Para fazer o esboço, vamos melhorar essa equação

Sabemos que f x = - 2 x x , então posso cortar o x se fizer uma ressalva de que x ≠ 0 , por que - 2 x x = - 2 apenas se o valor de x não é 0.

Assim, nossa função é f x = - 2 ,   s e   x ≠ 0 .

Nosso gráfico então é:

OBS.: não consegui colocar a bolinha aberta em nenhum programa, mas imagina que ela está aberta!

Resposta

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Use a definição de continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado. g x =2 3 - x , ( - ∞ ,3 ]
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x + 2 x 3 4 , em a = - 1 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = e x , x0 x 2 , x ≥ 0 ,a = 0
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = cos ⁡ x , x00 , x = 01 - x 2 , x0 ,a = 0