Enunciado

A função de Heaviside definida no Exercício 57 pode também ser usada para definir uma função rampa y = c t H ( t ) , que representa o crescimento gradual na voltagem ou corrente do circuito.

(a) Esboce o gráfico da função da rampa y = t H ( t ) .

(b) Esboce o gráfico da voltagem V ( t ) no circuito se uma chave for ligada no instante t = 0 e a voltagem crescer gradualmente até 120   v o l t s em um intervalo de 60 segundos. Escreva uma formula para V ( t ) em termos de H ( t ) para t ≤ 60 .

(c) Esboce o gráfico da voltagem V ( t ) em um circuito se em t = 7   s   for ligada uma chave e a voltagem crescer gradualmente até 100   v o l t s em um período de 25 segundos. Escreva uma fórmula para V ( t ) em termos de H ( t ) para t ≤ 32 .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos disse que a função de Heaviside pode ser usada para definir uma função rampa y = c t H ( t ) , que representa o crescimento gradual na voltagem ou corrente do circuito. Essa função foi definida no exercício 57 da seguinte forma:

H t = 0     s e   t < 0 1     s e   t ≥ 0

Então, ele nos pede para esboçar o gráfico da função rampa e o gráfico da voltagem V ( t ) no circuito em diferentes condições de crescimento da função e diferentes intervalos de tempo.

Pra isso, nós diremos que a função rampa é R t = t H ( t ) . Assim, usando a definição da função H ( t ) , vamos apenas multiplicar t em cada equação e esboçar seu gráfico. Em seguida, vamos definir V ( t ) por partes, para cada intervalo dado pelo enunciado, e também esboçar seu gráfico.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar resolvendo a letra (a), esboçando a função rampa definida por R t = t H ( t ) . Assim, multiplicando t na definição da função H ( t ) , vamos ter:

R t = 0   s e   t < 0 t   s e   t ≥ 0

Isso acontece porque não existe tempo negativo. Então, esboçando o gráfico, temos:

Passo 3

Na letra (b), precisamos esboçar o gráfico da voltagem V ( t ) no circuito se uma chave for ligada no instante t = 0 e a voltagem crescer gradualmente até 120   v o l t s em um intervalo de 60 segundos.

Dessa forma, usando a definição do passo 1 , teremos:

V t = 0   s e   t < 0 c t   s e   0 ≤ t ≤ 60

Dessa forma, agora a nossa função vai assumir a forma da função rampa.

V t = c t H ( t )

E como sabemos que em t = 60 seu valor é 120 volts, vamos usar isso para definir um valor de c .

V 60 = c 60 H t = 120

Como t > 0 , a função H t vale 1 , portanto:

c 60 1 = 120

Daí, vimos que a inclinação c da nossa função rampa vai ser c = 2 .

Observe que a nossa função V ( t ) é V t = 2 t H t ,   t ≤ 60 .

Então, esboçando o gráfico, teremos:

Passo 4

Agora na letra (c), vamos precisar esboçar o gráfico da voltagem V ( t ) em um circuito se em t = 7   s   for ligada uma chave e a voltagem crescer gradualmente até 100   v o l t s em um período de 25 segundos.

Só que antes, precisamos escrever uma fórmula para V ( t ) em termos de H ( t ) para t ≤ 32 . Nessas condições, usando a definição de H ( t ) , vamos ter:

H t = 0   s e   t < 0 1   s e   t ≥ 0

Para que a função degrau só comece a valer como 1 no tempo t = 7 , vamos andar com ela para a direita em 7 unidades, para isso, precisamos subtrair 7 no valor do tempo:

H t - 7 = 0   s e   t < 7 1   s e   t ≥ 7

Dessa forma, a nossa função vai assumir a forma:

V t = c R t - 7

Sendo que a função R t é t H t , logo, R t - 7 = t - 7 H ( t - 7 ) , portanto:

V t = c t - 7 H t - 7 = 0   s e   t < 7 c t - 7   s e   t ≥ 7

E para encontrar a inclinação c da rampa, vamos usar do fato de que a V t é 100   v o l t s   quando t = 32   s , logo, V t - 7 = 100

V 32 = c t - 7 H t - 7 = 100

E como t > 7 , temos que H t - 7 = 1 , logo:

c 32 - 7 1 = 100

c 25 = 100

c = 4

Agora observe que a nossa função é

V t = 4 t - 7 H t - 7 ,   t ≤ 32

Então, esboçando o gráfico, temos:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o s   n o s   p a s s o s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre as funções f g x ,g f x , f f xeg ( g x ) e seus domínios f x = x + 1 x , g x = x + 1 x + 2
Encontre as funções f g x ,g f x , f f xeg ( g x ) e seus domínios f x = s e n x ,g x = 1 - x
Encontre as funções f g x ,g f x , f f xeg ( g x ) e seus domínios f x = 2 x 2 - x ,g x = 3 x + 2
Encontre f (g (h (x))) para as seguintes funçõesf (x) = sqrt(x - 1) , g (x) = x^2 + 2 , h (x) = x + 3
Encontre as funções f g x ,g f x , f f xeg ( g x ) e seus domínios: f x = 1 - 3 x , g x = 5 x 2 + 3 x + 2