Transformada de Laplace

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Hoje vamos dar uma introduzida em um assunto muito importante, a transformada de laplace.

Transformada de Laplace

A transformada de laplace nada mais é que a transformação de uma função $f(t)$ em outra função que chamamos de $F(s)$. Ou seja, a gente pega uma função de $t$ e transforma ela em uma função de $s$.

Mas aí você me pergunta: Pra que fazer isso?

A gente usa a transformada de laplace para resolver equações diferenciais ordinárias (EDO), porque quando a gente faz isso a resolução da EDO fica muito muito mais simples. Pra tudo tem um propósito hahaha

Beleza, entendi o porque fazer isso, mas como fazer essa transformação?

Brincadeira, hahahaha.

Nós vamos fazer essa transformação usando essa integral aqui:

      Integral para transformada de laplace
Integral para transformada de laplace

Onde:

  • $f(t)$ é a função que queremos transformar, e;
  • $F(s)$ ou $\mathcal{L}(f(t))$ é a transformada de laplace da função $f(t)$

Ou seja, se quisermos a transformada de laplace de uma função $f(t)$, devemos realizar essa integral aí de cima.

Bora ver um exemplo para entender melhor como funciona?

Exemplo

Imagina que temos função $f(t)=1$ e queremos calcular a transformada de laplace dela.

Vamos pegar o $f(t)=1$ e substituir lá na nossa integral para o cálculo da transformada de laplace:

Expressão para a transformada de laplace
Expressão para a transformada de laplace

Note que a integral é uma integral imprópria, pois um dos limites é o infinito, então para resolvermos teremos que aplicar o limite, assim:

Expressão para cálculo da integral imprópria de transformada
Expressão para cálculo da integral imprópria de transformada

Resolvendo a integral temos:

                                 Resolução da integral
Resolução da integral

Aplicando o limite, temos:

  Aplicação do limite para solução da integral imprópria
Aplicação do limite para solução da integral imprópria

E assim, a transformada de $f(t)=1$ é a seguinte:

  Transformada de laplace da função
Transformada de laplace da função

Tranquilo não é?

Mas isso porque a função era $f(t)=1$, aí a integral fica de boas, mas e se for uma função super complexa? A gente vai ter que sofrer calculando a integral mesmo?

NÃO!!!!