Fala aí gente bonita, nós somos o Responde Aí. Sejam muito bem vindos.
Nossa missão é dar a você conteúdos didáticos que vão te ajudar a mandar super bem nas suas provas.
Hoje vamos dar uma introduzida em um assunto muito importante, a transformada de laplace.
Transformada de Laplace
A transformada de laplace nada mais é que a transformação de uma função $f(t)$ em outra função que chamamos de $F(s)$. Ou seja, a gente pega uma função de $t$ e transforma ela em uma função de $s$.
Mas aí você me pergunta: Pra que fazer isso?
A gente usa a transformada de laplace para resolver equações diferenciais ordinárias (EDO), porque quando a gente faz isso a resolução da EDO fica muito muito mais simples. Pra tudo tem um propósito hahaha
Beleza, entendi o porque fazer isso, mas como fazer essa transformação?
Brincadeira, hahahaha.
Nós vamos fazer essa transformação usando essa integral aqui:
Onde:
- $f(t)$ é a função que queremos transformar, e;
- $F(s)$ ou $\mathcal{L}(f(t))$ é a transformada de laplace da função $f(t)$
Ou seja, se quisermos a transformada de laplace de uma função $f(t)$, devemos realizar essa integral aí de cima.
Bora ver um exemplo para entender melhor como funciona?
Exemplo
Imagina que temos função $f(t)=1$ e queremos calcular a transformada de laplace dela.
Vamos pegar o $f(t)=1$ e substituir lá na nossa integral para o cálculo da transformada de laplace:
Note que a integral é uma integral imprópria, pois um dos limites é o infinito, então para resolvermos teremos que aplicar o limite, assim:
Resolvendo a integral temos:
Aplicando o limite, temos:
E assim, a transformada de $f(t)=1$ é a seguinte:
Tranquilo não é?
Mas isso porque a função era $f(t)=1$, aí a integral fica de boas, mas e se for uma função super complexa? A gente vai ter que sofrer calculando a integral mesmo?
NÃO!!!!