Transformada de Laplace

Resumo

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Hoje vamos dar uma introduzida em um assunto muito importante, a transformada de laplace.

Transformada de Laplace

A transformada de laplace nada mais é que a transformação de uma função $f(t)$ em outra função que chamamos de $F(s)$. Ou seja, a gente pega uma função de $t$ e transforma ela em uma função de $s$.

Mas aí você me pergunta: Pra que fazer isso?

A gente usa a transformada de laplace para resolver equações diferenciais ordinárias (EDO), porque quando a gente faz isso a resolução da EDO fica muito muito mais simples. Pra tudo tem um propósito hahaha

Beleza, entendi o porque fazer isso, mas como fazer essa transformação?

Brincadeira, hahahaha.

Nós vamos fazer essa transformação usando essa integral aqui:

Integral para transformada de laplace
Integral para transformada de laplace

Onde:

  • $f(t)$ é a função que queremos transformar, e;
  • $F(s)$ ou $\mathcal{L}(f(t))$ é a transformada de laplace da função $f(t)$

Ou seja, se quisermos a transformada de laplace de uma função $f(t)$, devemos realizar essa integral aí de cima.

Bora ver um exemplo para entender melhor como funciona?

Exemplo

Imagina que temos função $f(t)=1$ e queremos calcular a transformada de laplace dela.

Vamos pegar o $f(t)=1$ e substituir lá na nossa integral para o cálculo da transformada de laplace:

Expressão para a transformada de laplace
Expressão para a transformada de laplace

Note que a integral é uma integral imprópria, pois um dos limites é o infinito, então para resolvermos teremos que aplicar o limite, assim:

Expressão para cálculo da integral imprópria de transformada
Expressão para cálculo da integral imprópria de transformada

Resolvendo a integral temos:

Resolução da integral
Resolução da integral

Aplicando o limite, temos:

Aplicação do limite para solução da integral imprópria
Aplicação do limite para solução da integral imprópria

E assim, a transformada de $f(t)=1$ é a seguinte:

Transformada de laplace da função
Transformada de laplace da função

Tranquilo não é?

Mas isso porque a função era $f(t)=1$, aí a integral fica de boas, mas e se for uma função super complexa? A gente vai ter que sofrer calculando a integral mesmo?

NÃO!!!!

Existe uma tabela onde estão reunidas as transformadas de laplace de diversas funções, inclusive das funções mais conhecidas e que usamos mais como seno, cosseno, $x^2$, etc. Então, toda vez que precisar calcular a transformada de laplace de uma função basta olhar nessa tabela aqui: Tabela de Transformada de Laplace

Essa foi só a introdução sobre transformada de laplace, ainda tem muita coisa que você precisa aprennder sobre esse assunto. E pensando nisso, nós do Responde Aí, preparamos um Raio-X, onde todo o conteúdo que você precisa está separado em capítulos e tópicos para seu estudo ser bem focado e em ordem lógica.

Está esperando o que para conferir nosso Raio-X aqui embaixo 👇🏽 e ver tudo que o Responde Aí tem para te oferecer?

Raio-X

Livros Resolvidos

  • Cálculo Volume 2 - James Stewart
  • Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - Louis Leithold
  • Cálculo -  Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)
  • Um curso de Cálculo Volume 1 - Hamilton Luiz Guidorizzi
  • Um curso de Cálculo Volume 2 - Hamilton Luiz Guidorizzi
  • Cálculo Volume 1 - James Stewart
  • Conteúdos Complementares

    Tabelas de Transformada de Laplace

    Tabela Transformada de Laplace