Enunciado

Encontre o limite ou demonstre que não existe.

lim x → ∞ ⁡ e - 2 x cos ⁡ x

Passo 1

E aí, beleza?! Temos o limite:

lim x → ∞ ⁡ e - 2 x cos ⁡ x

Aqui a gente vai precisar calcular esse limite ou então demonstrar que ele não existe. Mas como vamos fazer isso?!

O cosseno é uma função periódica, que varia da seguinte forma:

- 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1

Isso lembra o que?!

Muito bem, teorema do confronto! Ele diz que, se:

f x ≤ g x ≤ h x

Quando x esta próximo de a , mas não em a . E:

lim x → a ⁡ f ( x ) = lim x → a ⁡ h ( x ) = L

Então:

lim x → a ⁡ g ( x )

Então aqui a gente vai manipular a desigualdade do cos ⁡ x pra chegar em e - 2 x cos ⁡ x . Calcular os limites dos extremos da desigualdade e achar o nosso limite usando o teorema do confronto!

Passo 2

Vimos que:

- 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1

Podemos multiplicar ambos os lados da equação por e - 2 x :

- e - 2 x ≤ e - 2 x cos ⁡ x ≤ e - 2 x

Agora a gente calcula o limite das funções do extremo:

lim x → ∞ ⁡ e - 2 x = 0

lim x → ∞ ⁡ - e - 2 x = 0

Então pelo Teorema do Valor Intermediário:

lim x → ∞ ⁡ e - 2 x cos ⁡ x = 0

Aweeee!

Resposta

lim x → ∞ ⁡ e - 2 x cos ⁡ x = 0

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