Enunciado

Encontre o limite ou demonstre que não existe.

underset(x -> oo)(lim) e^(- 2 x) cos x

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui queremos resolver o limite ou provar que o mesmo não existe.

O fato de termos uma função limitada ( cos x ) nos indica que uma boa forma de resolução é a utilização do teorema do confronto.

Passo 2

Desde que sabemos que

- 1 <= cos x <= 1

Podemos multiplicar ambos os lados da equação por e^(- 2 x)

- e^(- 2 x) <= e^(- 2 x) cos x <= e^(- 2 x)

Calculando então

underset(x -> oo)(lim) e^(- 2 x) = underset(x -> oo)(lim) - e^(- 2 x) = 0

E então pelo teorema de confronto

Em termos mais informais, se temos três funções, digamos f ( x ) , g ( x ) , e h ( x ) , e sabemos que g ( x ) <= f ( x ) <= h ( x ) para todos os x em um certo intervalo, então podemos inferir algumas coisas sobre o comportamento de f ( x ) .

A ideia é que, se as funções g ( x ) e h ( x ) estão "apertando" a função f ( x ) , então, se g ( x ) e h ( x ) têm limites iguais em um ponto c , então f ( x ) também deve ter esse limite em c .

temos que

underset(x ��� oo)(lim) e^(- 2 x) cos x = 0

Resposta

underset(x -> oo)(lim) e^(- 2 x) cos x = 0

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