Enunciado

Para o limite

lim x → - ∞ ⁡ 4 x 2 + 1 x + 1 = - 2

Ilustre a definição 8, encontrando os valores de N correspondentes a ϵ = 0,5   e   ϵ = 0,1

Passo 1

Bom galerinha, essa questão pede basicamente para ilustrarmos como a definação 8 se aplica a esse limite que tende ao infinito negativo.

lim x → - ∞ ⁡ 4 x 2 + 1 x + 1 = - 2

De acordo, com a definição, temos que:

Quando um limite que tende ao infinito resulta em um valor real L :

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = L

Então para todo ε > 0 , existe um corresponde número N tal que para qualquer x menor que N , a distância da função para L é menor que ε , isso é:

Quando

x < N

Temos que

f x - L < ε

Graficamente, isso pode ser representado da seguinte forma:

Passo 2

Usando o primeiro valor de ϵ ( ϵ = 0,5 ) podemos escrever

Se

x < N

Então

f x - L < ε

Substituindo nossa função e o resultado do nosso limite, temos:

4 x 2 + 1 x + 1 + 2 < 0,5

Então, nós esboçamos o gráfico de f ( x ) para encontrar o valor de N , , e também esboçamos uma reta para ser y = L + ϵ (reta roxa) e outra para ser y = L - ϵ (reta verde)

E dando um zoom

Portanto, vemos que para a função estar entre as retas é necessário que

x < - 5,098

Logo, N é aproximadamente,

N = - 5,098

Passo 3

Agora, analogamente para ϵ = 0,1

Podemos escrever

Se x < N , então

4 x 2 + 1 x + 1 + 2 < 0,1

Então, nós esboçamos o gráfico de f ( x ) para encontrar o valor de N , daí ficamos com (a reta verde representa y = L - ϵ   e a reta roxa representa y = L + ϵ )

E dando um zoom

Portanto, para a função estar entre as retas é necessário que

x < - 21,118

Logo,

N = - 2 1,118

Resposta

N = - 5,098   ( P a r a   ϵ = 0,5 )

N = - 21,118   ( P a r a   ϵ = 0,1 )

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