Enunciado

Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função

f x = 2 x + 1 x - 3

Passo 1

Vamos começar pelas assíntotas horizontais.

Para encontra-las demos que calcular dois limites

lim x → + ∞ ⁡ f x

E

lim x → - ∞ ⁡ f x

Se agum desses limites der algum número, então teremos assíntotas horizontais.

Vamos começar com

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 1 x - 3

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para .

Então para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

2 x + 1 x - 3

Passo 2

O nosso numerador é

2 x + 1

Colocando x em evidência

x 2 + 1 x

Passo 3

O nosso denominador vai ser

x - 3

Colocando x em evidência

x 1 - 3 x

Passo 4

A nossa fração vai ficar

2 x + 1 x - 3 = x 2 + 1 x x 1 - 3 x = 2 + 1 x 1 - 3 x

Agora, vamos tomar o limite

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 1 x - 3 = lim x → + ∞ ⁡ 2 + 1 x 1 - 3 x

Lembrando que o limite de um número sobre é sempre 0 , vamos ter

lim x → + ∞ ⁡ 2 + 1 x 1 - 3 x = 2 + 0 1 - 0 = 2

Assim, temos

y = 2

Como uma assíntota horizontal.

Passo 5

Vamos para o outro limite

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 2 x + 1 x - 3

Temos a mesma situação de antes, então já podemos utilizar aquela fração final

lim x → - ∞ ⁡ 2 x + 1 x - 3 = lim x → - ∞ ⁡ 2 + 1 x 1 - 3 x = 2 + 0 1 - 0 = 2

Teremos

y = 2

Como assíntota horizontal.

Passo 6

A assíntota vertical é o valor de x que ao tomarmos o limite ele vai para + ∞ ou para - ∞ .

Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.

Quem são eles?

Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.

Nesse caso

x - 3 = 0

x = 3

Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais, para entender o comportamento da função. Ou seja, calcular

lim x → 3 + ⁡ f x

E

lim x → 3 - ⁡ f x

Passo 7

Começando com

lim x → 3 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 3 + ⁡ 2 x + 1 x - 3 = 2 3 + 1 3 - 3 = 6 + 1 0 = 7 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 3 , neste caso, pela direita.

Pela direita, significa pegar valores maiores que 3 , logo o nosso denominador, que é x - 3 , vai assumir valores maiores que 0 , sendo positivo.

O nosso numerador vai ser 2 x + 1 , como x está próximo de 3 , ele vai ficar próximo de 2.3 + 1 = 7 , então é positivo.

Assim, nossa fração vai ser positiva, porque é divisão de positivo com positivo, para valores maiores que 3 .

E isso nos diz que

lim x → 3 + ⁡ 2 x + 1 x - 3 = + ∞

Passo 8

Começando com

lim x → 3 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 3 - ⁡ 2 x + 1 x - 3 = 2 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 3 , neste caso, pela esquerda.

Pela esquerda, significa pegar valores menores que 3 , logo o nosso denominador, que é x - 3 , vai assumir valores menores que 0 , sendo negativo.

O nosso numerador vai ser 2 x + 1 , como x está próximo de 3 , ele vai ficar próximo de 2.3 + 1 = 7 , então é positivo.

Assim, nossa fração vai ser negativa, porque é divisão de positivo com negativo, para valores maiores que 3 .

E isso nos diz que

lim x → 3 - ⁡ 2 x + 1 x - 3 = - ∞

Passo 9

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

x = 3

É assíntota vertical.

Vamos juntar com nossa assíntota horizontal

y = 2

E ver como fica o esboço.

O esboço vai ficar

Resposta

Assíntota horizontal:

y = 2

Assíntota vertical:

x = 3

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Calcule. lim x → + ∞ ⁡ x + x 3 x 2 + 3
Calcule. lim x → + ∞ ⁡ 2 - 1 x
Calcule. lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2
Calcule. lim x → + ∞ ⁡ x 3 + 2 x - 1 3 x 2 + x + 1
Calcule. lim x → + ∞ ⁡ x + 1 - x + 3