Enunciado

O Método dos Aniquiladores. Nos problemas de 20 a 22, consideramos outra maneira de chegar a uma forma adequada para Y ( t ) para usar no método dos coeficientes indeterminados. O procedimento baseia-se na observação de que as funções exponenciais, polinomiais ou senoidais (ou somas e produtos de tais funções) podem ser consideradas como soluções de certas equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. É conveniente usar o símbolo D para d / d t . Então, por exemplo, e - t é uma solução de ( D + 1 ) y = 0 ; diz-se que o operador diferencial D + 1 aniquila e - t , ou é um aniquilador de e - t .

Analogamente, D 2 + 4 é um aniquilador de sen ⁡ 2 t   ou cos ⁡ 2 t   , D - 3 2 = D 2 - 6 D + 9 é um aniquilador de e 3 t ou t e 3 t , e assim por diante.

20. Mostre que os operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes comutam. Ou seja, mostre que

( D   –   a ) ( D   –   b ) f   =   ( D   –   b ) ( D   –   a ) f

quaisquer que sejam a função duas vezes diferenciável f e as constantes a e b . O resultado pode ser imediatamente estendido a qualquer número finito de fatores.

Passo 1

Fala galera!!

Para resolver essa questão, vamos considerar a seguinte operador diferencial linear:

D   –   a D   –   b f = D 2 - a + b D + a b f

Como a e b são constantes então  a + b = b + a (pois as constantes são comutativas)

Então

D   –   a D   –   b f = D 2 - a + b D + a b f

D   –   a D   –   b f = D 2 - b + a D + a b f

D   –   a D   –   b f = D 2 - b D - a D + a b f

D   –   a D   –   b f = D D - b - a ( D - b ) f

D   –   a D   –   b f = ( D - a ) ( D - b ) f

D   –   a D   –   b f = ( D - a ) ( D - b ) f

Assim, provamos que operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes obedecem à lei comutativa.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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