(Método dos babilônios para cálculo de raiz quadrada) Considere a sequencia a_n , n >= 0 , dada por

a_(n+1) = 1/2 ( a_n + α / a_n )

Onde a_0 e alpha são reais positivos dados. (Observe que a_(n+1) é a média aritmética entre a_n e α / a_n . Observe, ainda que se a_n for uma aproximação por falta de raiz(α) , então α / a_n será uma aproximação por excesso e vice-versa) Mostre que, para todo n >= 1 , tem-se

c) 0 ≤ a_{n+1} - (α / a_{n+1}) ≤ (1 / 2^{n}) [ a_{1} - (α / a_{1}) ]

Passo 1

Se subtrairmos:

α a n + 1

Da sequencia dada no inicio do problema, ficaremos com.

a n + 1 -   α a n + 1 = 1 2 a n + α a n -   α a n + 1

Que ainda assim é um valor positivo. Colocando α a n em evidencia

1 2 a n - α a n + α a n -   α a n + 1

Passo 2

Como subtraímos uma parcela da primeira sequencia esta é menor ou a:

1 2 a n - α a n + α a n -   α a n + 1 ≤ 1 2 a n - α a n

Que é menor que a metade do termo anterior

1 2 a n - α a n ≤ 1 2 ⋅ 1 2 a n - 1 - α a n - 1

Resposta

Assim sucessivamente. Contudo o primeiro termo desta sequencia é a 1 pois n ≥ 1 . Dessa forma ficaremos com:

a n + 1 -   α a n + 1 ≤ 1 2 n a 1 - α a 1

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