Sejam P(x, y) e Q(x, y) duas funções definidas em R^2 e homogêneas de mesmo grau λ, isto é, para todo t > 0 e para todo (x, y) , P(τx, τy) = t^λ * P(x, y) e Q(τx, τy) = t^λ Q(x, y) Seja:

x = x(t)

y = y(t)

t ϵ I

Solução da equação:

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

Prove que, para todo τ > 0

x = tau x(t)

y = τy(t)

t ϵ I

Será, também, solução. Interprete geometricamente.

Passo 1

Então galerinha, aqui nós vamos substituir os valores de x e y, ok?

Segundo o problema eles valem:

x = τ x t

y = τ y ( t )

Quando nós substituirmos estes valores na solução da equação:

P τ x , τ y d x + Q τ x , τ y d y = 0

O problema também nos disse que:

P τ x , τ y = t λ P x , y

Q τ x , τ y = t λ Q x , y

Substituindo:

t λ P x , y d x + t λ Q x , y d y = 0

t λ P x , y d x + Q x , y d y = 0

P x , y d x + Q x , y d y = 0

O que isso nos diz?

Que geometricamente τ x , τ y representa um vetor múltiplo de x , y e, por isso também será a solução do problema !!

Tranquilinha, não foi?

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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