Enunciado

Uma mola é esticada 10   c m por uma força de 3   N . Uma massa de 2   k g é pendurada na mola e presa a um amortecedor viscoso que exerce uma força de 3   N quando a velocidade da massa é de 5   m / s . Se a massa for puxada 5   c m abaixo de sua posição de equilíbrio e receber uma velocidade inicial para baixo de 10   c m / s , determine sua posição s em qualquer instante t . Encontre a quase frequência μ e a razão entre μ e a frequência natural do movimento correspondente sem amortecimento.

Passo 1

Da Eq.(21) temos que vibrações livres amortecidas são dada por

m s ' ' + γ s ' + k s = 0

Onde m é a massa, γ está relacionado com a resistência e k a constante do material.

Assim como já resolvemos outras vezes, tome como solução s = e r t tendo como solução característica

m r 2 + γ r + k = 0

Com

r = - γ ± γ 2 - 4 k m 2 m

Passo 2

Vamos lá

Com as informações dada, temos que

k =   m g x 0 = - 3   N 0,1 m = 30   N / m

A viscosidade é dada por N ⋅ s / m , ou seja, olhando para nosso enunciado, temos que

γ = 3   N 5   m / s = 3 5   N ⋅ s / m

Detsa forma, temos que nossa equação diferencial é dada por

2 s ' ' + 3 / 5 s ' + 30 s = 0

Que pode ser escrita como

s ' ' + 0,3 s + 15 s = 0

O que torna um pouco mais fácil de resolver nosso problema.

Se tomarmos como solução s = e r t temos como equação característica

r 2 + 0,3 r + 15 = 0

Com solução

r = - 0,15 ± 3,87008 i

Onde teremos

s = c 1 e ( r + ) t + c 2 e ( r - ) t = e - 0,15 t c 1 e μ i t + c 2 e - μ i t

Onde μ = 3,87008

Que podemos escrever como

s = e - 0,15 t A cos ⁡ μ t + B   s e n   μ t

Passo 3

Agora vamos olhar prara nossas conuções iniciais. s 0 = 0,05   c m e s ' 0 = 0,01

Assim temos

e - 0,15 ⋅ 0 A cos ⁡ 2 31 ⋅ 0 + B   s e n   2 31 ⋅ 0 = 0 , 05 - 0,15 e - 0,15 ⋅ 0 A cos ⁡ μ ⋅ 0 + B   s e n   μ ⋅ 0 + μ e - 0,15 ⋅ 0 [ - A sen ⁡ μ ⋅ 0 + B   c o s   μ ⋅ 0 ] = 0,01

O que nos da

A = 0,05 B = 0,00452

Assim temos então

s = e - 0,15 t 0,05 cos ⁡ μ t + 0,00452   s e n   μ t

Passo 4

Se não houvesse amortecimento, então teríamos

s ' ' + 15 s = 0

Que teríamos ω 0 = 15

Assim

μ ω 0 ≈ 0,99925

Resposta

s = e - 0,15 t 0,05 cos ⁡ μ t + 0,00452   s e n   μ t

μ = 3,87008

μ ω 0 ≈ 0,99925

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