Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.

6. F s = 2 s - 3 s 2 - 4

Passo 1

Podemos reescrever o denominador da função de maneira que ele fique irredutível:

F s = 2 s - 3 ( s + 2 ) ( s - 2 )

E então usamos frações parciais para reescrever a função como uma soma de frações:

2 s - 3 ( s + 2 ) ( s - 2 ) = A s + 2 + B s - 2

Tirando MMC:

2 s - 3 ( s + 2 ) ( s - 2 ) = A ( s - 2 ) + B ( s + 2 ) ( s + 2 ) ( s - 2 )

Cortando os denominadores:

2 s - 3 = A ( s - 2 ) + B ( s + 2 )

Passo 2

Agora substituímos s = 2 para encontrarmos B :

2 ( 2 ) - 3 = B ( 2 + 2 )

B = 1 4

Substituindo s = - 2 para achar A :

2 ( - 2 ) - 3 = A ( - 2 - 2 )

A = 7 4

Colocando os valores de A e B na igualdade no início do Passo 1:

2 s - 3 ( s + 2 ) ( s - 2 ) = 1 4 7 s + 2 + 1 s - 2

Passo 3

Sabemos as seguintes transformadas inversas de acordo com a tabela:

L - 1 1 s - 2 = e 2 t

L - 1 1 s + 2 = e - 2 t

Nossa transformada inversa então fica:

L - 1 F ( s ) = 1 4 7 e - 2 t + e 2 t

Resposta

L - 1 F ( s ) = 1 4 7 e - 2 t + e 2 t

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