Enunciado

Mostre que a hélice circular r → t = acos ⁡ t ,   a s e n t ,   b t , onde a   e   b são constantes positivas, tem curvatura e torção constante. (Use o resultado do exercício 55 ( d ) )

Passo 1

Olá, tudo bem? Pra calcular a cuvatura κ e a torção τ de uma curva em função do parâmetro t , vamos relembrar como são as suas respectivas fórmulas.

Para a curvatura:

κ t = | r → ' t × r → ' ' t | r → ' 3

E para a torção:

τ t = r → ' t × r → ' ' t ⋅ r → ' ' ' r → ' t × r → ' ' t ²    

Então nosso primeiro passo vai ser determinar quem é nosso vetor posição r → ( t ) e as derivadas temporais:

r → t = a c o s t ; a s e n t ; b t

r → ' t = - a s e n t ; a c o s t ; b

r → ' ' t = - a c o s t ; - a s e n t ; 0

r → ' ' ' t = ( a s e n t ; - a c o s t ; 0 )

Certo até aqui?

Passo 2

O próximo passo é calcular as quantidades r → ' × r → ' ' ,   r → ' × r → ' ' 2 ,   r → ' × r → ' ' e   r → ' 3 .

Começando pelo produto vetorial:

r → ' × r → ' ' = i → j → k → - a s e n t a c o s t b - a c o s t - a s e n t 0 = i → a b   s e n t + j → - a b   c o s t + k → ( a 2 s e n 2 t + a 2 cos 2 ⁡ t )

r → ' × r → ' ' = i → a b   s e n t + j → - a b   c o s t + k → ( a 2 )

Agora calculando r → ' × r → ' ' 2 :

r → ' × r → ' ' 2 = a b   s e n t 2 + - a b   c o s t 2 + a 4

r → ' × r → ' ' 2 = a b 2 + a 4

E também:

r → ' × r → ' ' = a b 2 + a 4

r → ' × r → ' ' = a a 2 + b 2

E por último:

r → ' 3 = a 2 + b 2 3 2

Passo 3

Agora que sabemos os resultados do passo 2 podemos calcular o produto vetorial que aparece na fórmula da torção, que é a única coisa que falta a ser calculada:

r → ' t × r → ' ' t ⋅ r → ' ' ' = a b   s e n t ; - a b   c o s t ; a 2 ⋅ a   s e n t ; - a   c o s t ; 0

r → ' t × r → ' ' t ⋅ r → ' ' ' = a 2 b   s e n 2 t + a 2 b c o s 2 t = a 2 b

r → ' t × r → ' ' t ⋅ r → ' ' ' = a 2 b

Passo 4

Pronto! Agora vamos resgatar as fórmulas da curvatura e da torção do passo 1 e substituir com as quantidades que calculamos nos passos anteriores.

Pra curvatura κ t :

κ t = | r → ' t × r → ' ' t | r → ' 3 = a a 2 + b 2 a 2 + b 2 3 2 = a a 2 + b 2

Ou seja, constante para o parâmetro t .

E para a torção τ t :

τ t = r → ' t × r → ' ' t ⋅ r → ' ' ' r → ' t × r → ' ' t ² = a 2 b a b 2 + a 4

τ t = b a 2 + b 2

Ou seja, a torção também é constante para o parâmetro t .

Assim temos curvatura κ t = a a 2 + b 2 e torção τ t = b a 2 + b 2

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

κ t = a a 2 + b 2 e torção τ t = b a 2 + b 2

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Nos Exercícios 1-8, encontre o vetor tangente unitário da curva. Encontre também o comprimento da parte indicada da curva.