Mostre que se y = phi(x) , com ϕ(x) ≠ 0 no intervalo I , for uma solução de y'' = g(x) y , então u = (ϕ' (x)) / ϕ(x), x ∈ I , será solução da equação de Riccati u' = g(x) - u^2 .

Passo 1

No problema ele quer que a gente mostre que se y = ϕ x for solução da equação

y ' ' = g x   y

então u = ϕ ' ( x ) / ϕ x é solução da equação

u ' = g x - u 2

Para verificar isso, vamos derivar u pela regra do quociente:

u ' = ϕ ' x ' ϕ x - ϕ ' x ⋅ ϕ ' x ϕ x 2 = ϕ ' ' x ϕ x - ϕ ' x 2 ϕ x 2

Passo 2

Note que

u ' = ϕ ' ' x ϕ x - ϕ ' x ϕ x 2

Note que como u = ϕ ' ( x ) / ϕ x , temos que

u ' = ϕ ' ' x ϕ x - u 2

Além disso, como ϕ x é solução de y ' ' = g x   y , temos que

ϕ ' ' x = g x   ϕ ( x )

Logo,

ϕ ' ' x ϕ x = g ( x )

Portanto,

u ' = g x - u 2

Era isso que queríamos mostrar!

Resposta

Demonstração.

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