Resolva a equação x^4 * y'' = (1 - 2x) y .

Passo 1

A questão pede para resolvermos a equação

y^(' ') = ((1 - 2 x)/(x^4)) y = (x^(- 4) - 2 x^(- 3)) y

Além disso, ele deu uma dica para gente: olhar o exercício 22!

Nele provamos que se y = varphi (x) é solução da equação y^(' ') = g (x) y , então u = varphi ' ( x ) // varphi (x) é solução da equação u^' = g (x) - u^2 .

Note que no item (a) provamos que u = x^(- 2) é solução da equação

u^' = x^(- 4) - 2 x^(- 3) - u^2

Essa equação é do tipo

u^' = g (x) - u^2

com

g (x) = x^(- 4) - 2 x^(- 3)

Desta forma, a equação que queremos resolver é

y^(' ') = g (x) y

Passo 2

Olhando para o exercício 22, podemos afirmar que a solução y = varphi (x) que queremos é tal que

(varphi^' (x))/(varphi (x)) = u = x^(- 2)

Logo,

(d varphi)/(varphi) = x^(- 2) d x

Integrando dos dois lados:

ln |varphi| = - x^(- 1) + C = - (1)/(x) + C

Logo,

|varphi| = e^(- (1)/(x) + C) = e^C * e^(- (1)/(x))

Portanto,

varphi = +- e^C e^(- (1)/(x))

Chamando A = +- e^C , temos que

varphi = A e^(- (1)/(x))

Para A > 0 ou A < 0 a solução é válida! E para A = 0 ? Nesse caso, varphi (x) = 0 e varphi^(' ') (x) = 0 , de modo que esse caso também é solução da equação!

Portanto,

y = A e^(- (1)/(x))

é uma solução da EDO.

Resposta

y = A e^(- (1)/(x))

Ver Outros Exercícios desse livro