Enunciado

Mostre que y = sen t é uma solução de

para qualquer valor da constante k. Se 0 0 e k sen²t ≥ 0.

Observe então que, embora os coeficientes dessa equação diferencial com coeficientes variáveis sejam não negativos (e o coeficiente de y′ se anule apenas nos pontos t = 0, π, 2π,...), ela tem uma solução que não tende a zero quando t → ∞. Compare essa situação com o resultado do Problema 37. Observamos, assim, uma situação que não é incomum na teoria de equações diferenciais: equações aparentemente bastante semelhantes podem ter propriedades muito diferentes.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que:

2 cos ⁡ t sin ⁡ t = sin ⁡ 2 t

Então, temos a seguinte relação:

1 - k cos ⁡ t   sin ⁡ t = 1 - k 2 sin ⁡ 2 t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

0 < k < 2

k 2 sin ⁡ 2 t < sin ⁡ 2 t

- k 2 sin ⁡ 2 t >   - sin ⁡ 2 t

1 - k 2 sin ⁡ 2 t > 1 - sin ⁡ 2 t ≥ 0

Resposta

1 - k 2 sin ⁡ 2 t > 1 - sin ⁡ 2 t ≥ 0

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Se a0 e c0, mas b = 0, mostre que o resultado do Problema 37 não continua válido, mas que todas as soluções permanecem limitadas quando t → ∞.
Use o método do Problema 32 para encontrar uma segunda solução independente da equação dada.
Use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
Use o método do Problema 32 para encontrar uma segunda solução independente da equação dada.